1. Determine a base e a dimensão do espaço de solução W do sistema homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-2 z+2 s-t=0 \\\ x+2 y-z+3 s-2 t=0 \\\\ 2 x+4 y-7 z+s+t=0 \end{array}\right.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que é dado.
  • O sistema homogêneo é
\begin{cases} x+2y-2z+2s-t=0,\\[4pt] x+2y-z+3s-2t=0,\\[4pt] 2x+4y-7z+s+t=0. \end{cases}
  • As incógnitas são x,y,z,s,t (ou seja, 5 variáveis).
  • O objetivo: determinar uma base do espaço solução W (ou seja, uma base do núcleo da matriz dos coeficientes) e a dimensão de W.]

Passo 2

Vamos escrever a matriz dos coeficientes (sem a coluna de termos independentes, pois o sistema é homogêneo). Colocando as colunas na ordem x,y,z,s,t obtemos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1&2&-2&2&-1\\[4pt] 1&2&-1&3&-2\\[4pt] 2&4&-7&1&1 \end{pmatrix}.
A estratégia é aplicar eliminação de Gauss para obter a forma escalonada por linhas e, a partir dela, encontrar as variáveis básicas e livres.]

Passo 3

Usamos R_2\leftarrow R_2-R_1 para zerar a primeira entrada de R_2 e R_3\leftarrow R_3-2R_1 para zerar a primeira entrada de R_3.
Calculemos R_2-R_1:
(1,2,-1,3,-2)-(1,2,-2,2,-1)=(0,0,1,1,-1).
Calculemos R_3-2R_1:
(2,4,-7,1,1)-2(1,2,-2,2,-1)=(2,4,-7,1,1)-(2,4,-4,4,-2)=(0,0,-3,-3,3).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1&2&-2&2&-1\\[4pt] 0&0&1&1&-1\\[4pt] 0&0&-3&-3&3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora use R_3\leftarrow R_3+3R_2 para eliminar a entrada de R_3 na coluna z.
Calculemos R_3+3R_2:
(0,0,-3,-3,3)+3(0,0,1,1,-1)=(0,0,0,0,0).
A matriz escalonada final é
\begin{pmatrix} 1&2&-2&2&-1\\[4pt] 0&0&1&1&-1\\[4pt] 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretando a forma escalonada:
  • Há pivôs nas colunas 1 (correspondente a x) e 3 (correspondente a z). Logo \operatorname{rank}(A)=2.
  • Como há 5 incógnitas, a nulidade (dimensão do espaço solução) é 5-2=3. Isto significa que teremos 3 parâmetros livres.
  • As variáveis básicas são x e z. As variáveis livres podemos escolher como y,s,t.

Passo 6

Escrevemos as equações correspondentes à forma escalonada para resolver em função das variáveis livres.
Da segunda linha (pivot em z):
z+s-t=0\quad\Rightarrow\quad z=-s+t.
Da primeira linha (pivot em x):
x+2y-2z+2s-t=0.
Substituindo z=-s+t em -2z temos -2z=-2(-s+t)=2s-2t. Então a primeira equação vira
x+2y+(2s-2t)+2s-t=0.
Somando termos em s e t:
x+2y+4s-3t=0\quad\Rightarrow\quad x=-2y-4s+3t.

Passo 7

Agora expressamos a solução geral usando os parâmetros livres y,s,t. Escrevendo o vetor solução em função de y,s,t:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\\[4pt]s\\[4pt]t\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-4\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Cada parâmetro multiplica um vetor que pertence ao espaço solução; esses três vetores são linearmente independentes e geram todo W, portanto formam uma base de W.]

Passo 8

Resumo e verificação rápida:
  • O posto é 2 e a dimensão do espaço solução é 3 (pelo teorema da dimensão: \dim\ker A=5-\operatorname{rank}(A)).
  • A base escolhida corresponde aos vetores obtidos pelos parâmetros y,s,t.

Resposta

Base de W: \left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-4\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
\dim W=3]

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