1. Seja M_{2 \times 2} o espaço das matrızes 2 \times 2. Defna os seguıntes subespaços
W_{1}=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]: a+b-c=0, a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\} \quad \text { e } \quad W_{2}=\left\{\left[\begin{array}{cc} 0 & a \\\\ -a & b \end{array}\right]: a, b \in \mathbb{R}\right\} .
(a) Encontre uma base para o subespaço W_{1} \cap W_{2}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço M_{2\times 2} e define dois subespaços:
W_{1}=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} : a+b-c=0,\\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}
W_{2}=\left\{\begin{pmatrix}0 & a\\\\ -a & b\end{pmatrix} : a,b\in\mathbb{R}\right\}.
A pergunta é: encontrar uma base para o subespaço W_{1}\cap W_{2}, ou seja, todos os vetores (matrizes) que pertencem simultaneamente a W_{1} e a W_{2}.

Passo 2

Vamos escrever um elemento genérico de W_{2}. Seja \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Um elemento arbitrário de W_{2} tem a forma
X=\begin{pmatrix}0 & \alpha\\\\ -\alpha & \beta\end{pmatrix}.
Aqui \alpha corresponde ao elemento (1,2) e \beta ao elemento (2,2).

Passo 3

Para que X pertença também a W_{1} ele precisa satisfazer a condição de W_{1}. Escrevendo a condição de W_{1} com as entradas de X, temos
a+b-c=0 \quad\Longrightarrow\quad 0+\alpha-(-\alpha)=0.
Calculemos o lado esquerdo:
0+\alpha-(-\alpha)=\alpha+\alpha=2\alpha.
Logo a condição vira
2\alpha=0.

Passo 4

Da equação 2\alpha=0 obtemos \alpha=0. Portanto qualquer matriz em W_{1}\cap W_{2} deve ter \alpha=0 e \beta livre. Substituindo \alpha=0 em X, obtemos os elementos de W_{1}\cap W_{2}:
X=\begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & \beta\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\qquad \beta\in\mathbb{R}.

Passo 5

Agora verificamos que o conjunto formado por uma única matriz não nula acima gera todo W_{1}\cap W_{2} (pois qualquer elemento é um múltiplo escalar dela) e que é linearmente independente (uma única matriz não nula é linearmente independente). Assim essa matriz forma uma base do subespaço.

Resposta

\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}]

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