Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais.
$W=\left\{\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) ; x+z-y=0\right\}$

O enunciado nos dá o subespaço

W = \bigl\{\,\begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid x + z - y = 0\bigr\}

e pede uma base de

W

e sua dimensão. O conteúdo aqui é subespaços de espaços vetoriais e como encontrar uma base a partir de uma restrição linear.

Para caracterizar genéricamente um elemento de

W

, escrevemos

A = \begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix},

e impomos a condição

x + z - y = 0.

Dessa igualdade segue que

x = y - z.

As variáveis

y

z

w

ficam livres. Logo qualquer

A\in W

pode ser escrito como

A = \begin{pmatrix}y - z & y\\\ z & w\end{pmatrix}.

Agora separamos os termos que multiplicam cada parâmetro:

Reescrevendo

A

como combinação linear, temos

A = y\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} + w\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Isso mostra que os três matrizes

E_{1} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{2} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{3} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}

são geradores de

W

. Verifica‐se facilmente que são linearmente independentes, pois cada um traz um padrão único de entradas não nulas.

Como encontramos três vetores linearmente independentes que geram

W

, concluímos que

\dim(W) = 3.

Uma base de

W

\left\{ \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \right\},

\dim(W)=3

Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais. W=\left\{\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) ; x+z-y=0\right\}