Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais.
$W=[(1,0,0),(0,5,0),(7,0,2),(3, \pi, 2)]$

Passo 1

O enunciado define o subespaço

W = \Span\bigl\{(1,0,0),\,(0,5,0),\,(7,0,2),\,(3,\pi,2)\bigr\}\subset\mathbb{R}^3

e pede uma base de

W

e sua dimensão. O conteúdo aqui é de subespaços, base e dimensão, e vamos usar eliminação de Gauss para descobrir quantos vetores são linearmente independentes e extrair um conjunto base.

Passo 2

Organizamos os quatro vetores como linhas da matriz

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 5 & 0\\\\ 7 & 0 & 2\\\\ 3 & \pi & 2 \end{pmatrix}.

Usando operações de linha, fazemos:

$R_3 \leftarrow R_3 - 7\,R_1$ e $R_4 \leftarrow R_4 - 3\,R_1$ ,
pivô em $R_2$ e $R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{\pi}{5}R_2$ ,
pivô em $R_3$ e $R_4 \leftarrow R_4 - R_3$ .
No fim, sobram exatamente três linhas não nulas, de modo que o posto de $M$ é 3.

Passo 3

Como o posto é 3 e estamos em

\mathbb{R}^3

, concluímos que

\dim(W) = 3

e, na verdade,

W = \mathbb{R}^3

Passo 4

Para extrair uma base, podemos escolher três vetores independentes do conjunto original. Por exemplo, verificamos que

\,(1,0,0),\,(0,5,0)

(7,0,2)

são linearmente independentes, pois
se

a(1,0,0)+b(0,5,0)+c(7,0,2)=(0,0,0)

então do 3º componente vem

2c=0\implies c=0

, do 1º vem

a+7c=0\implies a=0

e do 2º vem

5b=0\implies b=0

Portanto

\{(1,0,0),(0,5,0),(7,0,2)\}

é uma base de

W

Resposta

Uma base de

W

\{(1,0,0),\,(0,5,0),\,(7,0,2)\},

\dim(W)=3

Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais. W=[(1,0,0),(0,5,0),(7,0,2),(3, \pi, 2)]