Determine uma base e a dimensão do subespaço gerado por
Passo 1
O enunciado dá três vetores em
:
Pede-se:
- Determinar uma base do subespaço gerado por
(isto é, uma base de ). - Determinar a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Recordando o que cada termo significa (de forma bem direta):
-
é o conjunto de todas as combinações lineares , com . - Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço (ou seja, seu span é o subespaço) e (ii) é linearmente independente.
- A dimensão é o número de vetores em qualquer base do subespaço.
Método prático: verificar se os vetores são linearmente dependentes. Se algum vetor for combinação linear dos outros, podemos removê-lo e testar independência dos restantes. Vou procurar relações simples entre
.
Passo 3
Tentar escrever
como combinação de
e
. Calcular
:
Observação importante:
é exatamente igual a
. Logo
Isso mostra que
é combinação linear de
e
, portanto os três vetores são linearmente dependentes — não precisamos dos três para gerar o mesmo subespaço.
Passo 4
Como
é combinação de
e
, o subespaço gerado pelos três vetores é o mesmo gerado por apenas
e
:
Agora precisamos verificar se
e
são linearmente independentes (se forem, formam uma base do subespaço; se não, a dimensão seria menor).
Passo 5
Testar independência de
e
. Dizemos que são dependentes se existirem escalares
, nem ambos zero, tal que
Escrevendo componente a componente (cada número em TeX):
Da segunda equação vem diretamente
Substituindo
nas outras duas equações obtemos
Só existe a solução trivial
. Portanto
e
são linearmente independentes.
Breve interpretação: não é possível multiplicar
por um escalar para obter
; além disso não há combinação não-trivial que anule os dois — por isso são independentes.
Passo 6
Concluindo:
- Os vetores
e geram o mesmo subespaço que os três vetores iniciais, e são linearmente independentes; portanto é uma base do subespaço gerado por . - Como a base escolhida tem
vetores, a dimensão do subespaço é .
Como comentário prático: qualquer outra base formada por dois vetores linearmente independentes que gerem o mesmo subespaço também seria válida (por exemplo,
não é válida porque
depende dos outros;
também não é válida pelo mesmo motivo). Neste caso a escolha natural e simples é
.
Resposta
Base:
Dimensão: