Determine uma base e a dimensão do subespaço gerado por
v_{1}=(1,0,1), \quad v_{2}=(2,1,3), \quad v_{3}=(3,1,4) .

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^{3}:
v_{1}=(1,0,1),\qquad v_{2}=(2,1,3),\qquad v_{3}=(3,1,4).
Pede-se:
  • Determinar uma base do subespaço gerado por \{v_{1},v_{2},v_{3}\} (isto é, uma base de \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}).
  • Determinar a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Recordando o que cada termo significa (de forma bem direta):
  • \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é o conjunto de todas as combinações lineares \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}, com \alpha_{i}\in\mathbb{R}.
  • Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço (ou seja, seu span é o subespaço) e (ii) é linearmente independente.
  • A dimensão é o número de vetores em qualquer base do subespaço.
Método prático: verificar se os vetores são linearmente dependentes. Se algum vetor for combinação linear dos outros, podemos removê-lo e testar independência dos restantes. Vou procurar relações simples entre v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 3

Tentar escrever v_{3} como combinação de v_{1} e v_{2}. Calcular v_{1}+v_{2}:
v_{1}+v_{2}=(1,0,1)+(2,1,3)=(1+2,\;0+1,\;1+3)=(3,1,4).
Observação importante: v_{1}+v_{2} é exatamente igual a v_{3}. Logo
v_{3}=v_{1}+v_{2}.
Isso mostra que v_{3} é combinação linear de v_{1} e v_{2}, portanto os três vetores são linearmente dependentes — não precisamos dos três para gerar o mesmo subespaço.

Passo 4

Como v_{3} é combinação de v_{1} e v_{2}, o subespaço gerado pelos três vetores é o mesmo gerado por apenas v_{1} e v_{2}:
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.
Agora precisamos verificar se v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (se forem, formam uma base do subespaço; se não, a dimensão seria menor).

Passo 5

Testar independência de v_{1} e v_{2}. Dizemos que são dependentes se existirem escalares \alpha,\beta, nem ambos zero, tal que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=0.
Escrevendo componente a componente (cada número em TeX):
\alpha(1)+\beta(2)=0,
\alpha(0)+\beta(1)=0,
\alpha(1)+\beta(3)=0.
Da segunda equação vem diretamente
\beta=0.
Substituindo \beta=0 nas outras duas equações obtemos
\alpha(1)=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=0.
Só existe a solução trivial \alpha=\beta=0. Portanto v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.
Breve interpretação: não é possível multiplicar v_{1} por um escalar para obter v_{2}; além disso não há combinação não-trivial que anule os dois — por isso são independentes.

Passo 6

Concluindo:
  • Os vetores v_{1} e v_{2} geram o mesmo subespaço que os três vetores iniciais, e são linearmente independentes; portanto \{v_{1},v_{2}\} é uma base do subespaço gerado por \{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
  • Como a base escolhida tem 2 vetores, a dimensão do subespaço é 2.
Como comentário prático: qualquer outra base formada por dois vetores linearmente independentes que gerem o mesmo subespaço também seria válida (por exemplo, \{v_{1},v_{3}\} não é válida porque v_{3} depende dos outros; \{v_{2},v_{3}\} também não é válida pelo mesmo motivo). Neste caso a escolha natural e simples é \{v_{1},v_{2}\}.

Resposta

Base: \{(1,0,1),\;(2,1,3)\}
Dimensão: 2

Exercícios relacionados