Verifique se o conjunto
é um subespaço de
. Determine uma base e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que o problema pede:
- Verificar se
é um subespaço de . - Determinar uma base de
. - Determinar a dimensão de
.
Passo 2
Vamos lembrar (de forma simples) o que é preciso mostrar para provar que um subconjunto
é um subespaço linear:
-
não é vazio (usualmente mostramos que o vetor nulo pertence a ); -
é fechado sob soma: se e então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou usar uma maneira elegante: escrever
como núcleo (kernel) de uma aplicação linear. Defina a aplicação linear
Então, por definição,
Passo 3
Prova de que
é subespaço (e assim
também):
- O vetor nulo
satisfaz
logo
e
não é vazio.
- Se
, então e . Como é linear (isto é, ), temos
logo
.
- Se
e , então pela linearidade de ,
logo
.
Portanto
é fechado nas operações e contém o zero; concluímos que
é um subespaço de
.
Passo 4
Agora vamos descrever explicitamente os vetores de
para encontrar uma base. A condição
é equivalente a
Então um vetor arbitrário de
tem a forma
Vamos escrever isso como combinação linear separando os coeficientes
e
:
Isto mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
Ou seja,
Passo 5
Verificamos agora se
é linearmente independente (para então ser uma base). Suponha que existam
tais que
Escrevendo componentes:
Igualando coordenadas obtemos o sistema
Das duas primeiras igualdades já vem
e
. Logo a única combinação que dá o vetor nulo é a combinação trivial, portanto
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Como
gera
(Passo 4) e é linearmente independente (Passo 5), é uma base de
por definição. A dimensão de
é o número de vetores em qualquer base de
; aqui a base escolhida tem
vetores, logo
Passo 7
Interpretação geométrica rápida e motivadora: a equação
representa um plano passando pela origem em
. Todo plano que passa pela origem é um subespaço de dimensão
. A base encontrada fornece duas direções independentes dentro desse plano.
Resposta
Base: