Verifique se o conjunto
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+2 y-z=0\right\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Determine uma base e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+2y-z=0\}.
O que o problema pede:
  • Verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^3.
  • Determinar uma base de S.
  • Determinar a dimensão de S.

Passo 2

Vamos lembrar (de forma simples) o que é preciso mostrar para provar que um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 é um subespaço linear:
  • S não é vazio (usualmente mostramos que o vetor nulo pertence a S);
  • S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S;
  • S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
Vou usar uma maneira elegante: escrever S como núcleo (kernel) de uma aplicação linear. Defina a aplicação linear
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\qquad f(x,y,z)=x+2y-z.
Então, por definição,
S=\ker(f)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid f(v)=0\}.

Passo 3

Prova de que \ker(f) é subespaço (e assim S também):
  • O vetor nulo (0,0,0) satisfaz
f(0,0,0)=0+2\cdot0-0=0,
logo (0,0,0)\in S e S não é vazio.
  • Se u,v\in S, então f(u)=0 e f(v)=0. Como f é linear (isto é, f(u+v)=f(u)+f(v)), temos
f(u+v)=f(u)+f(v)=0+0=0,
logo u+v\in S.
  • Se u\in S e \alpha\in\mathbb{R}, então pela linearidade de f,
f(\alpha u)=\alpha f(u)=\alpha\cdot 0=0,
logo \alpha u\in S.
Portanto S é fechado nas operações e contém o zero; concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Agora vamos descrever explicitamente os vetores de S para encontrar uma base. A condição x+2y-z=0 é equivalente a
z=x+2y.
Então um vetor arbitrário de S tem a forma
(x,y,z)=(x,y,x+2y).
Vamos escrever isso como combinação linear separando os coeficientes x e y:
(x,y,x+2y)=x\,(1,0,1)+y\,(0,1,2).
Isto mostra que todo vetor de S é combinação linear dos vetores
v_1=(1,0,1),\qquad v_2=(0,1,2).
Ou seja,
S=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 5

Verificamos agora se \{v_1,v_2\} é linearmente independente (para então ser uma base). Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_1+\beta v_2 = (0,0,0).
Escrevendo componentes:
\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,2)=(\alpha,\beta,\alpha+2\beta)=(0,0,0).
Igualando coordenadas obtemos o sistema
\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad \alpha+2\beta=0.
Das duas primeiras igualdades já vem \alpha=0 e \beta=0. Logo a única combinação que dá o vetor nulo é a combinação trivial, portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 6

Como \{v_1,v_2\} gera S (Passo 4) e é linearmente independente (Passo 5), é uma base de S por definição. A dimensão de S é o número de vetores em qualquer base de S; aqui a base escolhida tem 2 vetores, logo
\dim(S)=2.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida e motivadora: a equação x+2y-z=0 representa um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3. Todo plano que passa pela origem é um subespaço de dimensão 2. A base encontrada fornece duas direções independentes dentro desse plano.

Resposta

S é um subespaço de \mathbb{R}^3.\n
Base: \{(1,0,1),(0,1,2)\}\n
\dim(S)=2

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