Determine uma base para o espaço solução do sistema linear
x+y+z+2 t=0
2 x-y-2 z-t=0
que é um subespaço vetorial de \Re^{4} com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede a base do espaço solução do sistema homogêneo em \mathbb{R}^4\): \[\begin{cases} x + y + z + 2t = 0,\\\\ 2x - y - 2z - t = 0.
O conteúdo aqui é álgebra linear: vamos resolver o sistema pelo método de eliminação (ou substituição), encontrar a forma geral do vetor ((x,y,z,t)] em função de variáveis livres e extrair daí vetores que gerem a solução.

Passo 2

Começo isolando x na primeira equação:
x = -\,y \;-\; z \;-\; 2t.

Passo 3

Substituo esse x na segunda equação:
2(-y - z - 2t)\;-\;y\;-\;2z\;-\;t = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2y -2z -4t -y -2z -t = 0
\Longrightarrow\; -3y -4z -5t = 0 \quad\Longrightarrow\; 3y +4z +5t = 0 \quad\Longrightarrow\; y = -\frac{4}{3}z \;-\;\frac{5}{3}t.

Passo 4

Agora volto em x = -y - z - 2t e substituo y:
x = -\Bigl(-\tfrac{4}{3}z - \tfrac{5}{3}t\Bigr) \;-\; z \;-\;2t = \frac{4}{3}z + \frac{5}{3}t - z - 2t = \frac{1}{3}z \;-\;\frac{1}{3}t.

Passo 5

Defino as variáveis livres z e t. Escrevo então
(x,y,z,t) = \Bigl(\tfrac{1}{3}z - \tfrac{1}{3}t,\; -\tfrac{4}{3}z - \tfrac{5}{3}t,\;z,\;t\Bigr) = z\Bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{4}{3},1,0\Bigr) + t\Bigl(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{5}{3},0,1\Bigr).

Passo 6

Para evitar frações, escolho escalar cada gerador por 3. Assim obtenho vetores mais “inteiros” que também formam base:
v_1 = \bigl(1,-4,3,0\bigr), \quad v_2 = \bigl(-1,-5,0,3\bigr).
Eles são linearmente independentes e geram toda solução.

Resposta

Uma base do espaço solução é
\{\, (1,-4,3,0),\;(-1,-5,0,3)\}.

Exercícios relacionados