Verifique se o conjunto \beta=\left\{1-3 x+2 x^{2}, 1+x+4 x^{2}, 1-7 x\right\} é uma base para o espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , com as operações usuais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto \beta=\{\,1-3x+2x^2,\;1+x+4x^2,\;1-7x\}
é uma base de P_2(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios de grau \le2.
Sabemos que \dim P_2(\mathbb{R})=3, logo um subconjunto com três vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (e então já gera todo o espaço).
Passo 2
Para testar independência, escrevemos cada polinômio na base canônica \{1,x,x^2\} como vetor em \mathbb{R}^3: