Verifique se o conjunto \beta=\left\{1-3 x+2 x^{2}, 1+x+4 x^{2}, 1-7 x\right\} é uma base para o espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\beta=\{\,1-3x+2x^2,\;1+x+4x^2,\;1-7x\}
é uma base de P_2(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios de grau \le2.
Sabemos que \dim P_2(\mathbb{R})=3, logo um subconjunto com três vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (e então já gera todo o espaço).

Passo 2

Para testar independência, escrevemos cada polinômio na base canônica \{1,x,x^2\} como vetor em \mathbb{R}^3:
p_1 = 1-3x+2x^2 \longmapsto (1,\,-3,\,2),\quad p_2 = 1+x+4x^2 \longmapsto (1,\,1,\,4),
p_3 = 1-7x \longmapsto (1,\,-7,\,0).
Formamos a matriz M cujas colunas são esses vetores:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -3 & 1 & -7\\\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Usando expansão pela primeira linha:
\det M =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -7\\\ 4 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & -7\\\ 2 & 0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 1\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}1 & -7\\\ 4 & 0\end{pmatrix} =1\cdot0 -(-7)\cdot4 =28,
\det\begin{pmatrix}-3 & -7\\\ 2 & 0\end{pmatrix} =-3\cdot0 -(-7)\cdot2 =14,
\det\begin{pmatrix}-3 & 1\\\ 2 & 4\end{pmatrix} =-3\cdot4 -1\cdot2 =-14.
Logo
\det M = 1\cdot28 \;-\;1\cdot14 \;+\;1\cdot(-14) =28 -14 -14 = 0.

Passo 4

Como \det M=0, os vetores são linearmente dependentes. Portanto \beta não é uma base de P_2(\mathbb{R}).

Resposta

O conjunto \beta não é base de P_2(\mathbb{R}), pois é linearmente dependente.

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