Determine uma base para o subespaço vetorial das matrizes reais 2 \times 2 com as operações usuais definido por:
W=\left\{\left[\begin{array}{cc}a & b \\\ c & -a\end{array}\right]\right\}.

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço W\subset M_{2\times2}(\mathbb{R}) formado por todas as matrizes da forma
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & -a \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Para resolver, vamos usar o conceito de combinação linear em espaços vetoriais: precisamos encontrar matrizes que gerem W e sejam linearmente independentes.

Passo 2

Seja
M=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & -a \end{pmatrix}\in W.
Note que há exatamente três parâmetros livres a, b e c. Isso sugere que a dimensão de W é 3 e que podemos usar três matrizes geradoras.

Passo 3

Podemos escrever M como combinação linear de matrizes que isolam cada parâmetro. Observe que
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & -a \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

As três matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
são claramente linearmente independentes (nenhuma delas pode ser obtida como combinação das outras) e, pela decomposição acima, geram todo W. Então elas formam uma base de W.

Resposta

Uma base de W é
\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \right\}.

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