Determine uma base para o subespaço vetorial das matrizes reais 2 \times 2 com as operações usuais definido por: W=\left\{\left[\begin{array}{cc}a & b \\\ c & -a\end{array}\right]\right\}.
Passo 1
O enunciado pede uma base do subespaço W\subset M_{2\times2}(\mathbb{R}) formado por todas as matrizes da forma
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & -a \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Para resolver, vamos usar o conceito de combinação linear em espaços vetoriais: precisamos encontrar matrizes que gerem W e sejam linearmente independentes.
Passo 2
Seja
M=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & -a \end{pmatrix}\in W.
Note que há exatamente três parâmetros livres a, b e c. Isso sugere que a dimensão de W é 3 e que podemos usar três matrizes geradoras.
Passo 3
Podemos escrever M como combinação linear de matrizes que isolam cada parâmetro. Observe que
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & -a \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
são claramente linearmente independentes (nenhuma delas pode ser obtida como combinação das outras) e, pela decomposição acima, geram todo W. Então elas formam uma base de W.