Mostre que
é uma base para o subespaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 3 definido por:
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e propõe a família
.
Para mostrar que é base de
, precisamos verificar três coisas:
Para mostrar que
- Cada vetor de
pertence a . -
gera (ou seja, ). -
é linearmente independente.
Passo 2
Verificamos que
e
avaliando em
.
Para :
Para
Para
:
Logo
.
Passo 3
Mostramos que
gera
. Seja
. Então
implica, pelo Teorema do Resto, que
e
dividem
. Assim
onde
, isto é,
. Logo
Reescrevendo
temos
logo
. Isso mostra
.
Passo 4
Verificamos que
é linearmente independente. Suponha
Expandindo em potências de
:
Comparando coeficientes em
obtemos
Logo
, e a independência linear está provada.
Resposta
A família
é base de
.