Mostre que \beta=\left\{1-x^{2}, x-x^{3}\right\} é uma base para o subespaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 3 definido por:
U=\{p(x) ; p(-1)=p(1)=0\}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = \bigl\{p\in P_{3}(\mathbb{R}) \mid p(-1)=0,\;p(1)=0\bigr\}
e propõe a família
\beta = \{\,1 - x^{2},\,x - x^{3}\}.
Para mostrar que \beta é base de U, precisamos verificar três coisas:
  1. Cada vetor de \beta pertence a U.
  2. \beta gera U (ou seja, \mathrm{span}(\beta)=U).
  3. \beta é linearmente independente.

Passo 2

Verificamos que 1 - x^{2}\in U e x - x^{3}\in U avaliando em x=\pm1.
Para p_{1}(x)=1 - x^{2}:
p_{1}(1)=1-1=0,\quad p_{1}(-1)=1-1=0.
Para p_{2}(x)=x - x^{3}:
p_{2}(1)=1-1=0,\quad p_{2}(-1)=-1-(-1)=0.
Logo p_{1},p_{2}\in U.

Passo 3

Mostramos que \beta gera U. Seja p\in U. Então p(-1)=p(1)=0 implica, pelo Teorema do Resto, que (x+1) e (x-1) dividem p(x). Assim
p(x)=(x-1)(x+1)\,q(x)=(x^{2}-1)\,q(x),
onde \deg q\le1, isto é, q(x)=a\,x+b. Logo
p(x)=(x^{2}-1)(a\,x+b) = b\,(x^{2}-1)+a\,x\,(x^{2}-1).
Reescrevendo
x^{2}-1=-(1-x^{2}),\quad x(x^{2}-1)=-(x - x^{3}),
temos
p(x)=-\,b\,(1-x^{2})\;-\;a\,(x - x^{3}),
logo p\in\mathrm{span}\{\,1-x^{2},\,x-x^{3}\}. Isso mostra \mathrm{span}(\beta)=U.

Passo 4

Verificamos que \beta é linearmente independente. Suponha
\alpha\,(1-x^{2})+\gamma\,(x - x^{3})\equiv0.
Expandindo em potências de x:
\alpha - \alpha x^{2} + \gamma x - \gamma x^{3} \equiv 0.
Comparando coeficientes em x^{3},x^{2},x,1 obtemos
-\gamma=0,\;\gamma=0,\;-\,\alpha=0,\;\alpha=0.
Logo \alpha=\gamma=0, e a independência linear está provada.

Resposta

A família \beta=\{\,1-x^{2},\,x-x^{3}\} é base de U.

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