Determine as bases
e
em:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir as bases b e c na equação
. Aqui, estamos lidando com números em diferentes sistemas de numeração, ou seja, convertendo de base 10 para outra base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Nesse caso, o número está na base c, então cada dígito representa potências de c. A gente pode expandir isso assim:
Simplificando:
Passo 3
Sabemos que
é igual a
. Então, podemos igualar as duas expressões:
Agora, vamos arrumar essa equação para resolver para c:
Passo 4
Temos uma equação quadrática. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, a = 1, b = 1, e c = -20. Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Como a base de um sistema numérico não pode ser negativa, descartamos c = -5. Portanto, a única solução válida é c = 4.
Resposta
A base c é igual a 4.