Determine bases do núcleo e da imagem das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z)=(2 x-y+z,-4 x-8 y-2 z, x+y+z, x-y)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4,\quad T(x,y,z)=(2x-y+z,\,-4x-8y-2z,\;x+y+z,\;x-y).
Para encontrar uma base do núcleo, vamos resolver T(x,y,z)=0. Para a imagem, usaremos a matriz associada e seus vetores-coluna.

Passo 2

Equacione T(x,y,z)=0\), o que gera o sistema \[\begin{cases} 2x - y + z = 0,\\\\ -4x - 8y - 2z = 0,\\\ x + y + z = 0,\\\ x - y = 0. \end{cases}
Da última equação vem y = x\]. Substituindo em \(x+y+z=0 2x+z=0, ou seja z=-2x. Em 2x-y+z=0 fica 2x - x - 2x = -x = 0, logo x=0. Assim x=y=z=0.

Passo 3

Concluímos que
\ker(T)=\{(x,y,z)\mid x=y=z=0\}=\{0\},
cuja dimensão é zero. A base do núcleo é, portanto, o conjunto vazio.

Passo 4

A matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ -4 & -8 & -2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix},
cujos vetores-coluna são
v_1=(2,-4,1,1),\quad v_2=(-1,-8,1,-1),\quad v_3=(1,-2,1,0).
Como \dim\ker(T)=0, o posto de A é 3 e os três vetores-coluna são linearmente independentes.

Passo 5

Logo uma base para \im(T) é exatamente o conjunto dos vetores-coluna \{v_1,v_2,v_3\}.

Resposta

Base do núcleo: ∅
Base da imagem: \{(2,-4,1,1),\,(-1,-8,1,-1),\,(1,-2,1,0)\}

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