Determine bases do núcleo e da imagem das transformações lineares:
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
Para encontrar uma base do núcleo, vamos resolver
. Para a imagem, usaremos a matriz associada e seus vetores-coluna.
Passo 2
Equacione
Da última equação vem
dá
, ou seja
. Em
fica
, logo
. Assim
.
Passo 3
Concluímos que
cuja dimensão é zero. A base do núcleo é, portanto, o conjunto vazio.
Passo 4
A matriz de
na base canônica é
cujos vetores-coluna são
Como
, o posto de
é 3 e os três vetores-coluna são linearmente independentes.
Passo 5
Logo uma base para
é exatamente o conjunto dos vetores-coluna
.
Resposta
Base do núcleo: ∅
Base da imagem:
Base da imagem: