Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a reflexão do vetor (x, y) em torno da reta y=x. Encontre a expressão de T e verifique que T é linear.

Passo 1

O enunciado pede a reflexão da reta y=x, ou seja, a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que espelha cada vetor (x,y) em torno da reta \,y=x. O conteúdo envolve reflexão em uma reta e a verificação das propriedades de linearidade (adição e homogeneidade).

Passo 2

Para refletir um vetor v=(x,y) na reta y=x podemos usar o vetor unitário ao longo dessa reta
u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),
e a fórmula de reflexão
T(v)=2\,(u\cdot v)\,u - v.
Calculando u\cdot v=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1\cdot x + 1\cdot y)=\tfrac{x+y}{\sqrt{2}}, temos
T(x,y) =2\cdot\frac{x+y}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)-(x,y) =(x+y,x+y)-(x,y) =(y,x).
Logo, a expressão é
T(x,y)=(y,x).

Passo 3

Mostramos que T é linear verificando aditividade e homogeneidade. Sejam v=(x_1,y_1), w=(x_2,y_2) e \alpha\in\mathbb{R}. Então
T(v+w)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(y_1+y_2,\;x_1+x_2) =(y_1,x_1)+(y_2,x_2)=T(v)+T(w),
e
T(\alpha v)=T(\alpha x_1,\;\alpha y_1)=(\alpha y_1,\;\alpha x_1) =\alpha\,(y_1,x_1)=\alpha\,T(v).
Isso basta para concluir que T é uma transformação linear.

Resposta

A reflexão em torno da reta y=x é
T(x,y)=(y,x),
e de fato T é linear.

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