Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
tg(x) é uma função periódica de período 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação “ tan(x) é função periódica de período 2pi” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é função periódica: a definição de período de uma função e, em particular, encontrarmos o menor período (período fundamental) de tan(x).

Passo 2

Para uma função f, dizemos que T>0 é um período se for válida a identidade
f(x + T) = f(x),
para todo x em seu domínio. O período fundamental é o menor T>0 que satisfaz essa condição.

Passo 3

Vamos verificar se pi é período de tan(x). Usando as fórmulas de seno e cosseno com deslocamento de pi:
tan(x + pi)=sin(x+pi)cos(x+pi)=-sin x-cos x=sin xcos x=tan(x)
Logo, pi é um período de tan(x).

Passo 4

Como encontramos um período positivo menor que 2pi (no caso, pi), concluímos que o período fundamental de tan(x) é pi. Portanto, embora 2pi também satisfaça tan(x+2pi)=tan(x), ele não é o menor período. A afirmação de que o período de tan(x) é 2pi está incorreta quando se fala em período fundamental.

Resposta

Falsa. O período fundamental de tan(x) é pi, não 2pi.

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