Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
é uma função periódica de período
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação “
é função periódica de período
” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é função periódica: a definição de período de uma função e, em particular, encontrarmos o menor período (período fundamental) de
.
Passo 2
Para uma função
, dizemos que
é um período se for válida a identidade
para todo
em seu domínio. O período fundamental é o menor
que satisfaz essa condição.
Passo 3
Vamos verificar se
é período de
. Usando as fórmulas de seno e cosseno com deslocamento de
:
Logo,
é um período de
.
Passo 4
Como encontramos um período positivo menor que
(no caso,
), concluímos que o período fundamental de
é
. Portanto, embora
também satisfaça
, ele não é o menor período. A afirmação de que o período de
é
está incorreta quando se fala em período fundamental.
Resposta
Falsa. O período fundamental de
é
, não
.