1. Determine em cada caso, W_{1} \cap W_{2} e W_{1}+W_{2}. Quais das somas são diretas?
(a) W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=y\right\} e W_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=y=z\right\}.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{3} e pede duas coisas:
  • Determinar W_{1}\cap W_{2}.
  • Determinar W_{1}+W_{2}.
  • Dizer se a soma é direta.
Informações fornecidas:
  • W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=y\}.
  • W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=y=z\}.

Passo 2

Interpretar e parametrizar W_{1}.
A condição x=y significa que vetores de W_{1} têm a forma (x,x,z) com x,z\in\mathbb{R}. Escrever isso como combinação linear:
(x,x,z)=x\,(1,1,0)+z\,(0,0,1).
Portanto
W_{1}=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}.
Explicação didática: escrever um subespaço em forma paramétrica é útil porque mostra geradores (ou uma base) e facilita contar a dimensão. Aqui há dois parâmetros x e z, logo \dim W_{1}=2 (desde que os geradores sejam linearmente independentes, o que é claro neste caso).

Passo 3

Interpretar e parametrizar W_{2}.
A condição x=y=z significa vetores (t,t,t) com t\in\mathbb{R}. Então
W_{2}=\{t\,(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Aqui há um parâmetro t, logo \dim W_{2}=1.

Passo 4

Calcular a interseção W_{1}\cap W_{2}.
Um vetor v está em W_{1}\cap W_{2} se satisfaz simultaneamente as descrições de W_{1} e de W_{2}. Pelas parametrizações:
  • Em W_{2} v=(t,t,t).
  • Em W_{1} v=(x,x,z).
Igualando as coordenadas: (t,t,t)=(x,x,z) implica t=x e t=z. Portanto x=z=t. Assim qualquer vetor comum tem a forma (t,t,t), ou seja é exatamente um vetor de W_{2}. Conclusão:
W_{1}\cap W_{2}=W_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Comentário: notei que todo vetor de W_{2} satisfaz x=y, logo W_{2}\subseteq W_{1}; por isso a interseção é W_{2} inteira.

Passo 5

Calcular a soma W_{1}+W_{2}.
Definição: W_{1}+W_{2}=\{u+v\mid u\in W_{1},\,v\in W_{2}\}. Se W_{2}\subseteq W_{1}, então qualquer soma u+v já pertence a W_{1}, logo W_{1}+W_{2}=W_{1}. Como vimos no passo anterior W_{2}\subseteq W_{1}, portanto
W_{1}+W_{2}=W_{1}=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}.
Verificação alternativa por dimensões (fórmula útil): \dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2}). Substituindo \dim W_{1}=2, \dim W_{2}=1, \dim(W_{1}\cap W_{2})=1 obtém-se \dim(W_{1}+W_{2})=2, consistente com W_{1}+W_{2}=W_{1}.

Passo 6

Verificar se a soma é direta.
Definição prática: a soma W_{1}+W_{2} é direta (escreve-se W_{1}\oplus W_{2}) se e somente se W_{1}\cap W_{2}=\{(0,0,0)\}. Aqui encontramos W_{1}\cap W_{2}=W_{2}, que contém vetores não nulos (por exemplo (1,1,1)). Logo a interseção não é só o vetor zero e a soma não é direta.
Interpretação em palavras: como W_{2} está inteiramente dentro de W_{1}, qualquer vetor de W_{2} pode ser escrito tanto como vetor de W_{1} quanto como vetor de W_{2}, quebrando unicidade da decomposição.

Resposta

W_{1}\cap W_{2}=\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}
W_{1}+W_{2}=W_{1}=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}
A soma não é direta (pois W_{1}\cap W_{2}\neq\{(0,0,0)\}).

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