- Determine em cada caso,
e
. Quais das somas são diretas?
(a)
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
e pede duas coisas:
- Determinar
. - Determinar
. - Dizer se a soma é direta.
Informações fornecidas:
-
. -
.
Passo 2
Interpretar e parametrizar
.
A condição significa que vetores de
têm a forma
com
. Escrever isso como combinação linear:
A condição
Portanto
Explicação didática: escrever um subespaço em forma paramétrica é útil porque mostra geradores (ou uma base) e facilita contar a dimensão. Aqui há dois parâmetros
e
, logo
(desde que os geradores sejam linearmente independentes, o que é claro neste caso).
Passo 3
Interpretar e parametrizar
.
A condição significa vetores
com
. Então
A condição
Aqui há um parâmetro
, logo
.
Passo 4
Calcular a interseção
.
Um vetor está em
se satisfaz simultaneamente as descrições de
e de
. Pelas parametrizações:
Um vetor
- Em
. - Em
.
Igualando as coordenadas:
implica
e
. Portanto
. Assim qualquer vetor comum tem a forma
, ou seja é exatamente um vetor de
. Conclusão:
Comentário: notei que todo vetor de
satisfaz
, logo
; por isso a interseção é
inteira.
Passo 5
Calcular a soma
.
Definição: . Se
, então qualquer soma
já pertence a
, logo
. Como vimos no passo anterior
, portanto
Definição:
Verificação alternativa por dimensões (fórmula útil):
. Substituindo
,
,
obtém-se
, consistente com
.
Passo 6
Verificar se a soma é direta.
Definição prática: a soma é direta (escreve-se
) se e somente se
. Aqui encontramos
, que contém vetores não nulos (por exemplo
). Logo a interseção não é só o vetor zero e a soma não é direta.
Definição prática: a soma
Interpretação em palavras: como
está inteiramente dentro de
, qualquer vetor de
pode ser escrito tanto como vetor de
quanto como vetor de
, quebrando unicidade da decomposição.
Resposta
A soma não é direta (pois