O que se pede, de forma prática, é verificar se qualquer vetor arbitrário b\in\mathbb{R}^{4} pode ser escrito como combinação linear
b = c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}+c_{4}v_{4},
ou, equivalente e mais prático em exercícios, verificar se os vetores têm posto (rank) igual a 4. Se o posto for 4, o conjunto gera \mathbb{R}^{4}.
Passo 2
Breve explicação didática (o que significa “gerar” e por que vamos usar posto/eliminação):
O span (ou espaço gerado) de A é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de A. Se esse span for todo \mathbb{R}^{4}, dizemos que A gera \mathbb{R}^{4}.
Um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{4} gera \mathbb{R}^{4} exatamente quando o posto da matriz formada por esses vetores (como colunas) é 4.
Método escolhido: formar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} e aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para achar o posto. Operações por linhas não mudam o posto; ao triangularizar/colocar em forma escalonada conseguimos contar pivôs (linhas não nulas) — cada pivô indica uma direção independente.
Passo 3
Formar a matriz M cujas colunas são os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}:
Agora quero zerar os elementos acima da terceira coluna pivot (coluna 3, linha 3 tem 1). Uso R_{3} para eliminar as entradas na coluna 3 em R_{1} e R_{2}:
Expliquei: essas operações deixam claro que já temos pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (linhas 1,2,3 não nulas).
Passo 6
Resta ajustar a coluna 4. Observa-se que a linha 4 tem um -1 na coluna 4, e a linha 3 tem um 1 na coluna 4. Posso eliminar o 1 em R_{3} usando R_{4} e, em seguida, deixar sinais positivos para pivôs:
A forma escalonada final tem pivôs em todas as 4 linhas (ou seja, 4 pivôs). Portanto o posto da matriz M é 4.
Como o posto é igual a 4, que é a dimensão do espaço ambiente \mathbb{R}^{4}, concluímos que as colunas (os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}) geram todo \mathbb{R}^{4}. Em outras palavras, para qualquer b\in\mathbb{R}^{4} existe (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}) tal que b=c_{1}v_{1}+\cdots+c_{4}v_{4}.
Passo 8
Comentário final e encorajamento: isso também mostra que os vetores são linearmente independentes (pois há 4 vetores independentes em um espaço de dimensão 4). Na prova, essa é uma maneira direta de responder: montar a matriz, fazer eliminação e ver se aparece um pivô em cada linha (ou coluna, dependendo da montagem). Se aparecerem 4 pivôs, gera; se aparecerem menos, não gera. Vai dar tudo certo — pratique mais um ou dois exemplos assim para ganhar velocidade.