1. Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R^{4} ?
(a) A=\{(1,0,0,1),(0,1,0,0),(1,1,1,1),(1,1,1,0)\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto A gera o espaço \mathbb{R}^{4}.
Os vetores fornecidos são (copiados do enunciado):
v_{1}=(1,0,0,1),\qquad v_{2}=(0,1,0,0),\qquad v_{3}=(1,1,1,1),\qquad v_{4}=(1,1,1,0).
O que se pede, de forma prática, é verificar se qualquer vetor arbitrário b\in\mathbb{R}^{4} pode ser escrito como combinação linear
b = c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}+c_{4}v_{4},
ou, equivalente e mais prático em exercícios, verificar se os vetores têm posto (rank) igual a 4. Se o posto for 4, o conjunto gera \mathbb{R}^{4}.

Passo 2

Breve explicação didática (o que significa “gerar” e por que vamos usar posto/eliminação):
  • O span (ou espaço gerado) de A é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de A. Se esse span for todo \mathbb{R}^{4}, dizemos que A gera \mathbb{R}^{4}.
  • Um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{4} gera \mathbb{R}^{4} exatamente quando o posto da matriz formada por esses vetores (como colunas) é 4.
  • Método escolhido: formar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} e aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para achar o posto. Operações por linhas não mudam o posto; ao triangularizar/colocar em forma escalonada conseguimos contar pivôs (linhas não nulas) — cada pivô indica uma direção independente.

Passo 3

Formar a matriz M cujas colunas são os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}:
M= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui a coluna 1 é v_{1}, coluna 2 é v_{2}, etc. Nosso objetivo é aplicar operações por linhas para levar M a uma forma escalonada e contar pivôs.

Passo 4

Primeira operação: eliminar o elemento da quarta linha, primeira coluna, usando a primeira linha como pivô. Faço R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1}.
Cálculo:
R_{4}-R_{1}=(1,0,1,0)-(1,0,1,1)=(0,0,0,-1).
Matriz após essa operação:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora quero zerar os elementos acima da terceira coluna pivot (coluna 3, linha 3 tem 1). Uso R_{3} para eliminar as entradas na coluna 3 em R_{1} e R_{2}:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3}. Cálculo: (1,0,1,1)-(0,0,1,1)=(1,0,0,0).
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3}. Cálculo: (0,1,1,1)-(0,0,1,1)=(0,1,0,0).
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Expliquei: essas operações deixam claro que já temos pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (linhas 1,2,3 não nulas).

Passo 6

Resta ajustar a coluna 4. Observa-se que a linha 4 tem um -1 na coluna 4, e a linha 3 tem um 1 na coluna 4. Posso eliminar o 1 em R_{3} usando R_{4} e, em seguida, deixar sinais positivos para pivôs:
  • Faço R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{4}. Cálculo: (0,0,1,1)+(0,0,0,-1)=(0,0,1,0).
  • Faço R_{4}\leftarrow -R_{4} para transformar -1 em 1: (0,0,0,-1)\mapsto(0,0,0,1).
A matriz final é:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que é a matriz identidade I_{4}.

Passo 7

Interpretação do resultado:
  • A forma escalonada final tem pivôs em todas as 4 linhas (ou seja, 4 pivôs). Portanto o posto da matriz M é 4.
  • Como o posto é igual a 4, que é a dimensão do espaço ambiente \mathbb{R}^{4}, concluímos que as colunas (os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}) geram todo \mathbb{R}^{4}. Em outras palavras, para qualquer b\in\mathbb{R}^{4} existe (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}) tal que b=c_{1}v_{1}+\cdots+c_{4}v_{4}.

Passo 8

Comentário final e encorajamento: isso também mostra que os vetores são linearmente independentes (pois há 4 vetores independentes em um espaço de dimensão 4). Na prova, essa é uma maneira direta de responder: montar a matriz, fazer eliminação e ver se aparece um pivô em cada linha (ou coluna, dependendo da montagem). Se aparecerem 4 pivôs, gera; se aparecerem menos, não gera. Vai dar tudo certo — pratique mais um ou dois exemplos assim para ganhar velocidade.

Resposta

Sim. A gera \mathbb{R}^{4}.

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