Determine se cada um dos conjuntos descritos abaixo é finito ou infinito. No caso em que seja infinito, exiba uma família de elementos deste conjunto.
Exemplo: O conjunto dos x \in \mathbb{R} tais que x>2, é infinito, pois todo número da forma 2+k, onde k \in \mathbb{N} está neste conjunto, nos dando infinitos elementos.
(c) O conjunto das estrelas do universo;

Passo 1

O enunciado (parte (c)) nos pede para classificar o conjunto “todas as estrelas do universo” como finito ou infinito. O conteúdo é teoria de cardinalidade: sabemos que um conjunto é infinito se existe uma injeção de \mathbb{N} nele, ou seja, se conseguimos dar um índice natural distinto a cada elemento.

Passo 2

Para mostrar que um conjunto S é infinito, basta exibir uma função injetora
f \colon \mathbb{N} \to S
que associa a cada n\in\mathbb{N} um elemento f(n)\in S, de modo que f(m)=f(n) só se m=n.

Passo 3

No caso das estrelas do universo, ainda que não saibamos o número exato de astros que existam, podemos idealizar uma enumeração. Suponha que, de alguma forma, listemos todas as estrelas como
\text{estrela}_1,\;\text{estrela}_2,\;\text{estrela}_3,\;\dots
Então definimos
f(n)=\text{estrela}_{n}.
Por construção f é injetora, pois cada índice natural n aponta para uma estrela diferente.

Passo 4

Como existe essa injeção f\colon\mathbb{N}\to\{\text{todas as estrelas do universo}\}, o conjunto de todas as estrelas é infinito.

Resposta

O conjunto é infinito, pois podemos indexar as estrelas por \text{estrela}_n para cada n\in\mathbb{N}, obtendo infinitos elementos.

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