Determine se cada um dos conjuntos descritos abaixo é finito ou infinito. No caso em que seja infinito, exiba uma família de elementos deste conjunto.
Exemplo: O conjunto dos
tais que
, é infinito, pois todo número da forma
, onde
está neste conjunto, nos dando infinitos elementos.
(c) O conjunto das estrelas do universo;
(c) O conjunto das estrelas do universo;
Passo 1
O enunciado (parte (c)) nos pede para classificar o conjunto “todas as estrelas do universo” como finito ou infinito. O conteúdo é teoria de cardinalidade: sabemos que um conjunto é infinito se existe uma injeção de
nele, ou seja, se conseguimos dar um índice natural distinto a cada elemento.
Passo 2
Para mostrar que um conjunto
é infinito, basta exibir uma função injetora
que associa a cada
um elemento
, de modo que
só se
.
Passo 3
No caso das estrelas do universo, ainda que não saibamos o número exato de astros que existam, podemos idealizar uma enumeração. Suponha que, de alguma forma, listemos todas as estrelas como
Então definimos
Por construção
é injetora, pois cada índice natural
aponta para uma estrela diferente.
Passo 4
Como existe essa injeção
, o conjunto de todas as estrelas é infinito.
Resposta
O conjunto é infinito, pois podemos indexar as estrelas por
para cada
, obtendo infinitos elementos.