Determine se cada um dos conjuntos descritos abaixo é finito ou infinito. No caso em que seja infinito, exiba uma família de elementos deste conjunto.
Exemplo: O conjunto dos x \in \mathbb{R} tais que x>2, é infinito, pois todo número da forma 2+k, onde k \in \mathbb{N} está neste conjunto, nos dando infinitos elementos.
(d) O conjunto de bits de uma dada palavra;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto dos bits de uma dada palavra é finito ou infinito. O conteúdo é teoria de conjuntos e cardinalidade: vamos ver se esse conjunto tem número finito de elementos.

Passo 2

Por “palavra” entende-se aqui uma sequência finita de bits (cada bit vale 0 ou 1). Se a palavra tem comprimento n, então ela é formada pelos bits
b_{1},\,b_{2},\,\dots,\,b_{n},
onde cada b_{i}\in\{0,1\}.

Passo 3

O “conjunto dos bits” dessa palavra é
\{\,b_{1},\,b_{2},\,\dots,\,b_{n}\}.
Esse conjunto tem no máximo n elementos distintos (na verdade, no máximo dois valores distintos: 0 e 1), mas certamente seu número de elementos não ultrapassa n.

Passo 4

Como a palavra tem comprimento n finito, o conjunto dos seus bits também tem cardinalidade no máximo n. Logo, esse conjunto é finito.

Resposta

O conjunto dos bits de uma dada palavra é finito.

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