Determine se cada um dos conjuntos descritos abaixo é finito ou infinito. No caso em que seja infinito, exiba uma família de elementos deste conjunto.
Exemplo: O conjunto dos
tais que
, é infinito, pois todo número da forma
, onde
está neste conjunto, nos dando infinitos elementos.
(d) O conjunto de bits de uma dada palavra;
(d) O conjunto de bits de uma dada palavra;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto dos bits de uma dada palavra é finito ou infinito. O conteúdo é teoria de conjuntos e cardinalidade: vamos ver se esse conjunto tem número finito de elementos.
Passo 2
Por “palavra” entende-se aqui uma sequência finita de bits (cada bit vale
ou
). Se a palavra tem comprimento
, então ela é formada pelos bits
onde cada
.
Passo 3
O “conjunto dos bits” dessa palavra é
Esse conjunto tem no máximo
elementos distintos (na verdade, no máximo dois valores distintos:
e
), mas certamente seu número de elementos não ultrapassa
.
Passo 4
Como a palavra tem comprimento
finito, o conjunto dos seus bits também tem cardinalidade no máximo
. Logo, esse conjunto é finito.
Resposta
O conjunto dos bits de uma dada palavra é finito.