Determine se cada um dos conjuntos descritos abaixo é finito ou infinito. No caso em que seja infinito, exiba uma família de elementos deste conjunto.
Exemplo: O conjunto dos x \in \mathbb{R} tais que x>2, é infinito, pois todo número da forma 2+k, onde k \in \mathbb{N} está neste conjunto, nos dando infinitos elementos.
(e) O conjunto de círculos com centro na origem do plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto de todos os círculos com centro na origem do plano cartesiano é finito ou infinito. Um círculo com centro na origem e raio r é dado por
x^2 + y^2 = r^2
com r\ge 0. Para resolver, vamos analisar quantos valores de r distintos podem existir.

Passo 2

Cada escolha de r\in \mathbb{R}_{\ge 0} determina um círculo distinto. Como o conjunto \mathbb{R}_{\ge 0} é infinito, segue que há infinitos círculos centrados na origem. Para exibir uma família explícita de elementos desse conjunto, basta escolher, por exemplo, todos os inteiros positivos como raios.

Resposta

O conjunto é infinito.
Uma família de círculos é, para cada n\in \mathbb{N}, o círculo
C_{n} = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = n^2\}.
Como existem infinitos n\in \mathbb{N}, obtemos infinitos círculos.

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