Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a equação diferencial dada é separável. Se for, então precisamos encontrar a solução geral dela. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, mais especificamente aquelas que são separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e depois integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é separável. A equação dada é:
Uma equação é separável se conseguimos escrever
(que é
) como um produto de uma função só de
e uma função só de
. Aqui, já temos:
Então, sim, a equação é separável!
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Isso coloca todos os termos com
em um lado e todos os termos com
no outro lado da equação.
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Sabemos que
, e a integral de
é
. Além disso, para
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, vamos integrar:
Calculando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante qualquer.