Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(k) y' = cos^2(x) * cos^2(3y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a equação diferencial dada é separável. Se for, então precisamos encontrar a solução geral dela. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, mais especificamente aquelas que são separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e depois integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é separável. A equação dada é:
Uma equação é separável se conseguimos escrever (que é ) como um produto de uma função só de e uma função só de . Aqui, já temos:
Então, sim, a equação é separável!

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Isso coloca todos os termos com em um lado e todos os termos com no outro lado da equação.

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Sabemos que , e a integral de é . Além disso, para , usamos a identidade trigonométrica:
Então, vamos integrar:
Calculando as integrais:
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante qualquer.

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