Para que valores do número
a função
é contínua em
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função
definida da seguinte forma:
Queremos descobrir para quais valores de
essa função é contínua em
. Vamos precisar usar conceitos de limite e continuidade de funções multivariáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a função ser contínua em todo o seu domínio. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando nos aproximamos desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto. No nosso caso, o ponto crítico é
, já que a definição da função muda nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Isso nos ajudará a verificar se o limite coincide com o valor da função nesse ponto, que é 0.
Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde
,
,
, e
.
Passo 4
Substituindo as coordenadas esféricas na expressão do limite:
Fatorando
:
Passo 5
Para que o limite exista e seja igual a zero (para coincidir com
), precisamos que
tenda a zero quando
. Isso acontece quando o expoente
é positivo:
Resposta
A função
é contínua em
para todos os valores de
tais que
.