Determine se cada uma das funções a seguir é par, ímpar ou nem par, nem ímpar:
x(t)=e^{j 2 \pi t}

Passo 1

O enunciado dá a função x(t)=e^{j 2 \pi t} e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é complexa-valuada, definida por x(t)=e^{j 2 \pi t}.
  • A tarefa é classificar a paridade (par/ímpar/nenhum).

Passo 2

Definições que vamos usar (essas são as regras da prova; decore mentalmente):
  • Uma função x(t) é par se, para todo t, vale
x(-t)=x(t).
  • Uma função x(t) é ímpar se, para todo t, vale
x(-t)=-x(t).
Essas definições valem também quando x(t) é complexa.

Passo 3

Calcular x(-t) diretamente substituindo -t na expressão:
x(-t)=e^{j 2 \pi (-t)}=e^{-j 2 \pi t}.
Nota útil (que ajuda a entender o sinal): para todo t temos x(-t)=\bigl(x(t)\bigr)^*, porque \bigl(e^{j2\pi t}\bigr)^*=e^{-j2\pi t}. Ou seja, x(-t) é o conjugado de x(t).

Passo 4

Teste para ser par: verificar se x(-t)=x(t). Substituindo temos a condição
e^{-j2\pi t}=e^{j2\pi t}.
Multiplicando ambos os lados por e^{j2\pi t} obtemos
e^{j4\pi t}=1.
Essa igualdade ocorre apenas para valores isolados de t (quando 4\pi t=2\pi k, isto é t=k/2), não para todo t. Portanto a igualdade não é verdadeira para todo t e a função não é par.

Passo 5

Teste para ser ímpar: verificar se x(-t)=-x(t). Substituindo temos
e^{-j2\pi t}=-e^{j2\pi t}.
Multiplicando por e^{j2\pi t} obtemos
e^{j4\pi t}=-1.
Isso também só ocorre para valores isolados de t (quando 4\pi t=(2k+1)\pi), não para todo t. Logo a igualdade não vale para todo t e a função não é ímpar.

Passo 6

Para fixar a intuição, decompomos x(t) em parte par e ímpar (fórmula geral):
x_{\text{e}}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},\qquad x_{\text{o}}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}.
Calculemos:
x_{\text{e}}(t)=\frac{e^{j2\pi t}+e^{-j2\pi t}}{2}=\cos(2\pi t),
x_{\text{o}}(t)=\frac{e^{j2\pi t}-e^{-j2\pi t}}{2}=j\sin(2\pi t).
Aqui x_{\text{e}}(t) é uma função par não nula e x_{\text{o}}(t) é uma função ímpar não nula. Como x(t)=x_{\text{e}}(t)+x_{\text{o}}(t) com ambas partes não nulas, x(t) não é exclusivamente par nem exclusivamente ímpar — é a soma de uma parte par e uma parte ímpar.

Passo 7

Conclusão lógica: já que x(-t)\neq x(t) para todo t e x(-t)\neq -x(t) para todo t, e ainda que x(t) se escreva como soma de partes par e ímpar não nulas, a classificação correta é que x(t) é nem par nem ímpar. Força aí — você já aprendeu a testar paridade passo a passo!

Resposta

nem par, nem ímpar

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