Determine se cada uma das funções a seguir é par, ímpar ou nem par, nem ímpar:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é complexa-valuada, definida por
. - A tarefa é classificar a paridade (par/ímpar/nenhum).
Passo 2
Definições que vamos usar (essas são as regras da prova; decore mentalmente):
- Uma função
é par se, para todo , vale
- Uma função
é ímpar se, para todo , vale
Essas definições valem também quando
é complexa.
Passo 3
Calcular
diretamente substituindo
na expressão:
Nota útil (que ajuda a entender o sinal): para todo
temos
, porque
. Ou seja,
é o conjugado de
.
Passo 4
Teste para ser par: verificar se
. Substituindo temos a condição
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Essa igualdade ocorre apenas para valores isolados de
(quando
, isto é
), não para todo
. Portanto a igualdade não é verdadeira para todo
e a função não é par.
Passo 5
Teste para ser ímpar: verificar se
. Substituindo temos
Multiplicando por
obtemos
Isso também só ocorre para valores isolados de
(quando
), não para todo
. Logo a igualdade não vale para todo
e a função não é ímpar.
Passo 6
Para fixar a intuição, decompomos
em parte par e ímpar (fórmula geral):
Calculemos:
Aqui
é uma função par não nula e
é uma função ímpar não nula. Como
com ambas partes não nulas,
não é exclusivamente par nem exclusivamente ímpar — é a soma de uma parte par e uma parte ímpar.
Passo 7
Conclusão lógica: já que
para todo
e
para todo
, e ainda que
se escreva como soma de partes par e ímpar não nulas, a classificação correta é que
é nem par nem ímpar. Força aí — você já aprendeu a testar paridade passo a passo!
Resposta
nem par, nem ímpar