Determine se cada uma das funções a seguir é par, ímpar ou nem par, nem ímpar: x(t)=t^{3}|t|
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a função x(t)=t^{3}|t| é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Informações fornecidas:
A função está definida por x(t)=t^{3}|t| para todo t (assume-se domínio \mathbb{R}).
Não há outras restrições dadas.
Passo 2
Definições essenciais (muito importantes para a prova — memorize assim):
Uma função f é par se, para todo t no domínio, valer
f(-t)=f(t).
Geometricamente: o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.
Uma função f é ímpar se, para todo t no domínio, valer
f(-t)=-f(t).
Geometricamente: o gráfico tem simetria central em relação à origem.
Observação útil: se f é ímpar então necessariamente f(0)=0 (porque f(0)= -f(0) implica f(0)=0). Isso é uma checagem rápida, mas não substitui a verificação da igualdade para todos os t.
Passo 3
Estratégia de resolução (método direto que funciona sempre): calcular x(-t) e comparar com x(t). Se x(-t)=x(t) então x é par; se x(-t)=-x(t) então x é ímpar; caso contrário é nem par nem ímpar.
Vou aplicar essa estratégia diretamente.
Passo 4
Calcular x(-t) passo a passo, usando propriedades básicas (expliquei cada passo para você poder reproduzir na prova):
Primeiro, escrevo a definição com -t:
x(-t)=(-t)^{3}\,\bigl|{-t}\bigr|.
Propriedade usada: para todo t, \bigl|{-t}\bigr|=\lvert t\rvert (o valor absoluto não muda ao trocar o sinal). Além disso, (-t)^{3}=-t^{3} porque potências ímpares trocam o sinal.