Determine se cada uma das funções a seguir é par, ímpar ou nem par, nem ímpar:
x(t)=t^{3}|t|

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a função x(t)=t^{3}|t| é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Informações fornecidas:
  • A função está definida por x(t)=t^{3}|t| para todo t (assume-se domínio \mathbb{R}).
  • Não há outras restrições dadas.

Passo 2

Definições essenciais (muito importantes para a prova — memorize assim):
  • Uma função f é par se, para todo t no domínio, valer
f(-t)=f(t).
Geometricamente: o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.
  • Uma função f é ímpar se, para todo t no domínio, valer
f(-t)=-f(t).
Geometricamente: o gráfico tem simetria central em relação à origem.
  • Observação útil: se f é ímpar então necessariamente f(0)=0 (porque f(0)= -f(0) implica f(0)=0). Isso é uma checagem rápida, mas não substitui a verificação da igualdade para todos os t.

Passo 3

Estratégia de resolução (método direto que funciona sempre): calcular x(-t) e comparar com x(t). Se x(-t)=x(t) então x é par; se x(-t)=-x(t) então x é ímpar; caso contrário é nem par nem ímpar.
Vou aplicar essa estratégia diretamente.

Passo 4

Calcular x(-t) passo a passo, usando propriedades básicas (expliquei cada passo para você poder reproduzir na prova):
Primeiro, escrevo a definição com -t:
x(-t)=(-t)^{3}\,\bigl|{-t}\bigr|.
Propriedade usada: para todo t, \bigl|{-t}\bigr|=\lvert t\rvert (o valor absoluto não muda ao trocar o sinal). Além disso, (-t)^{3}=-t^{3} porque potências ímpares trocam o sinal.
Portanto:
x(-t)=(-t)^{3}\,\lvert -t\rvert = (-t^{3})\,\lvert t\rvert = -\,t^{3}\lvert t\rvert.

Passo 5

Comparação com x(t):
A função original é
x(t)=t^{3}\lvert t\rvert.
Da linha anterior temos
x(-t)=-\,t^{3}\lvert t\rvert = -\,x(t).
Concluímos, pela definição, que x satisfaz x(-t)=-x(t) para todo t. Logo x é ímpar.

Passo 6

Checagem em t=0 (consistência):
x(0)=0^{3}\lvert 0\rvert = 0,
o que é coerente com a propriedade de funções ímpares (que deve ter valor zero em t=0).

Passo 7

Interpretação alternativa (útil para entender e para a prova): ver a função de maneira peça‑por‑peça usando \lvert t\rvert como função por partes.
Para t\ge 0 temos \lvert t\rvert=t, então
x(t)=t^{3}\cdot t = t^{4}\quad\text{se }t\ge 0.
Para t<0 temos \lvert t\rvert=-t, então
x(t)=t^{3}\cdot(-t)= -t^{4}\quad\text{se }t<0.
Assim x(t)=t^{4} para t\ge0 e x(t)=-t^{4} para t<0. Isso mostra de forma clara a simetria ímpar: trocar t por -t troca o sinal de x.

Passo 8

Dica geral que ajuda em questões parecidas na prova:
Considere funções do tipo f(t)=t^{n}\lvert t\rvert com n inteiro. Aplicando o mesmo raciocínio:
f(-t)=(-t)^{n}\lvert -t\rvert = (-1)^{n} t^{n}\lvert t\rvert = (-1)^{n} f(t).
Logo:
  • Se n é par, (-1)^{n}=1 e f é par.
  • Se n é ímpar, (-1)^{n}=-1 e f é ímpar.
No nosso caso n=3 (ímpar), portanto f é ímpar — mesmo resultado que obtivemos diretamente.

Resposta

x(t) é ímpar.

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