Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{\infty}\left(x^{3}-3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias em intervalos não limitados, usando a definição de limites nos extremos.

Passo 2

Escrevemos a integral como soma de duas integrais impróprias em extremidades separadas, escolhendo o ponto de quebra c=0:
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\,dx =\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\,dx +\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculamos uma primitiva de f(x)=x^{3}-3x^{2}. Uma antiderivada é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{3}.

Passo 4

Avaliamo-os cada limite:
1. Para b\to\infty:
\int_{0}^{b}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\,dx =F(b)-F(0) =\frac{b^{4}}{4}-b^{3}.
Quando b\to\infty, \frac{b^{4}}{4}-b^{3}\to+\infty. Logo esse termo diverge.
2. Mesmo sem avaliar o lado a\to-\infty, já basta ver que a contribuição de b\to\infty é infinita, então a integral não converge.

Resposta

A integral diverge.

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