Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{4}(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\bigl(2t\bigr)\,dt.
O conteúdo usado será a fórmula de redução de potência para potências de cosseno, que transforma \cos^{4}\theta numa combinação de cossenos de múltiplos de \theta.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência
\cos^{4}\theta = \tfrac18\bigl(3 + 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)\bigr).
Aqui tomamos \theta = 2t, então
\cos^{4}\bigl(2t\bigr) = \tfrac18\bigl(3 + 4\cos(4t) + \cos(8t)\bigr).

Passo 3

Substituímos na integral e separamos os termos:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}(2t)\,dt = \int_{0}^{\pi/2}\tfrac18\bigl(3 + 4\cos(4t) + \cos(8t)\bigr)\,dt = \tfrac18\Bigl(3I_{0} + 4I_{4} + I_{8}\Bigr),
onde definimos
I_{0} = \int_{0}^{\pi/2}1\,dt,\quad I_{4} = \int_{0}^{\pi/2}\cos(4t)\,dt,\quad I_{8} = \int_{0}^{\pi/2}\cos(8t)\,dt.

Passo 4

Calculamos cada integral:
I_{0} = \int_{0}^{\pi/2}1\,dt = \frac{\pi}{2},
I_{4} = \int_{0}^{\pi/2}\cos(4t)\,dt = \Bigl[\tfrac{1}{4}\sin(4t)\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{4}\bigl(\sin(2\pi)-\sin0\bigr) = 0,
I_{8} = \int_{0}^{\pi/2}\cos(8t)\,dt = \Bigl[\tfrac{1}{8}\sin(8t)\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{8}\bigl(\sin(4\pi)-\sin0\bigr) = 0.

Passo 5

Substituindo de volta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}(2t)\,dt = \tfrac18\Bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2} + 4\cdot0 + 0\Bigr) = \tfrac18\cdot \tfrac{3\pi}{2} = \tfrac{3\pi}{16}.

Resposta

\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}(2t)\,dt = \frac{3\pi}{16}.

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