Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^1 3x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
integral0^13x^3,dx
que é imprópria em x=0 por causa da singularidade x^-3. Vamos usar o conceito de limite para integrar de um ponto próximo a zero até 1 e depois verificar se esse limite existe finito (convergência) ou vai para infinito (divergência).

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite:
integral0^13x^3,dx =limato0^+integrala^13x^3,dx

Passo 3

Calculamos a antiderivada de tfrac3x^3=3x^-3. Como
integral x^-3,dx = x^-2-2,
temos
integral 3x^-3,dx =3cdotx^-2-2 =-32,x^-2

Passo 4

Agora avaliamos o integral de a até 1 e depois tomamos o limite ato0^+:
integrala^13x^3,dx =[-32x^-2]x=a^x=1 =-32cdot1^-2 ;-;l(-32a^-2r) =-32+32a^2
Quando ato0^+, o termo tfrac32a^2 tende a +infty. Logo o limite não é finito.

Resposta

A integral diverge.

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