Questão 1. Calcule cada uma das integrais indefinidas usando a escolha para u e dv sugerida.
integral x^3raiz4+x^2 d x, d v=xraiz4+x^2 d x, u=x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3raiz4+x^2,dx
usando a integração por partes com as escolhas
u = x^2, dv = xraiz4+x^2,dx
O conteúdo aplicado será a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Calculamos du e v.
Derivando u:
du = 2x,dx
Para v, integramos dv:
v = integral xraiz4+x^2,dx
Fazendo a substituição t = 4+x^2, dt = 2x,dx, obtemos
v = integral 12dtraizt = raizt = raiz4+x^2

Passo 3

Aplicamos a fórmula de partes:
integral x^3raiz4+x^2,dx = integral u,dv = u,v - integral v,du = x^2,raiz4+x^2 - integral raiz4+x^2,(2x),dx

Passo 4

Calculamos agora
integral 2x,raiz4+x^2,dx
Usamos de novo w = 4+x^2, dw = 2x,dx, logo
integral 2x,raiz4+x^2,dx = integral raizw,dw = 23,w^3/2 = 23,(4+x^2)^3/2
Substituindo de volta na expressão de partes, temos
integral x^3raiz4+x^2,dx = x^2raiz4+x^2 - 23(4+x^2)^3/2 + C

Resposta

boxed integral x^3raiz4+x^2,dx = x^2raiz4+x^2 - 23,(4+x^2)^3/2 + C

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