Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x, y)=lang<= x, yrang<=|x-y|, x, y in R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
fcolon R^3timesR^3toR, f(x,y)=lang<= x,yrang<=|x-y|
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por operações elementares (produto interno, norma e quociente). Para resolver, precisamos identificar o domínio natural (onde o denominador não se anula) e aplicar o fato de que soma, produto interno e norma são contínuos em todo lugar, e que quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador é não‐nulo.

Passo 2

Determinar o domínio natural de f. O numerador
lang<= x,yrang<=
é sempre definido, mas o denominador
|x-y|
só é diferente de zero quando x-yneq 0, isto é, quando xneq y. Logo, o domínio de f é
D = l(x,y)inR^3timesR^3 mid xneq yr

Passo 3

Verificar continuidade das funções componentes:
  1. (x,y)mapsto lang<= x,yrang<= é contínua em todo R^3timesR^3.
  2. (x,y)mapsto |x-y| é contínua em todo R^3timesR^3.

Passo 4

Como quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador é não‐nulo, concluímos que f é contínua em todo o seu domínio natural D.

Resposta

f é contínua em
l(x,y)inR^3timesR^3 mid xneq yr

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