Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x, y)=raizx y1-x^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = raizx,y1 - x^2
e pede em que conjunto do plano ela é contínua. Para isso, vamos identificar o domínio de f (onde o radical está bem definido e o denominador é não nulo) e lembrar que uma função composta de operações contínuas é contínua em todo ponto do seu domínio.

Passo 2

Primeiro, exigimos que o denominador seja não zero, isto é,
1 - x^2 neq 0 Long<=ftrightarrow x neq pm 1

Passo 3

Em seguida, o argumento do radical precisa ser maior ou igual a zero:
x,y1 - x^2 >= 0
Como já sabemos que 1 - x^2 não muda de sinal dentro de cada intervalo (-∞,-1), (-1,1), (1,∞), podemos resolver a desigualdade analisando o sinal de x,y e o sinal de 1 - x^2 em cada região.

Passo 4

  • Se -1 < x < 1 então 1 - x^2 > 0, e precisamos de
    x,y >= 0
    Isso dá y >= 0 quando x>0, y <= 0 quando x<0, e para x=0 vale x,y=0, logo qualquer y funciona.
  • Se |x| > 1 então 1 - x^2 < 0, e precisamos de
    x,y <= 0
    Isso dá y <= 0 quando x>1 e y >= 0 quando x<-1.

Passo 5

Reunindo tudo (e excluindo x=pm1), o domínio de f é
D = l(x,y)mid -1<x<1,;x,y>=0r;cup;l(x,y)mid |x|>1,;x,y<=0r
Dentro de D, as operações de multiplicação, divisão (por não zero) e raiz quadrada são contínuas, logo f é contínua em todo ponto de D.

Resposta

A função f é contínua exatamente no conjunto
l(x,y)mid -1<x<1,;x,y>=0r ;cup; l(x,y)mid |x|>1,;x,y<=0r

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