Determine cada limite, se existir:
(a) \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim_{x \rightarrow a} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=x^{2 / 3} ;\quad a=-8

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto onde devemos analisar limites:
  • f(x)=x^{2/3}.
  • a=-8.
As perguntas pedem:
(a) \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x) — limite pela esquerda em a=-8.
(b) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) — limite (não especifica direção, então o limite total) em a=-8.
(c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) — repetição do item (b) tal como está no enunciado.
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
  • A expressão matemática da função f(x).
  • O ponto a=-8 onde se avaliam os limites.

Passo 2

Vamos entender bem o que significa x^{2/3}. Existem duas formas equivalentes, úteis para raciocinar:
  • \displaystyle x^{2/3} = \bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{2}. Aqui primeiro se toma a raiz cúbica de x e depois se eleva ao quadrado.
  • Alternativamente, \displaystyle x^{2/3} = \sqrt[3]{x^{2}}. Aqui primeiro se eleva x ao quadrado e depois se toma a raiz cúbica.
Importante sobre a raiz cúbica: a função \sqrt[3]{x} (ou x^{1/3}) está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, incluindo x<0. Por exemplo, \sqrt[3]{-8}=-2. Isso difere de raízes pares (como a raiz quadrada), que não são reais para argumentos negativos. Portanto x^{2/3} é definida para todo número real x.

Passo 3

Uma estratégia prática para limites de funções com potências racionais é verificar continuidade: se a função for contínua em a, então \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a), e os limites laterais também igualam esse valor.
Para decidir se f(x)=x^{2/3} é contínua em a=-8, observe que:
  • A função g(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} é contínua em todo \mathbb{R} (a raiz cúbica não tem descontinuidade).
  • A função h(t)=t^{2} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A composição f(x)=h(g(x))=\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{2} é, portanto, contínua em todo \mathbb{R}, incluindo x=-8.
Assim podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=-8 na função.

Passo 4

Calcule f(-8) por substituição e usando a forma \bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{2}:
\sqrt[3]{-8} = -2,
portanto
f(-8)=\bigl(\sqrt[3]{-8}\bigr)^{2}=(-2)^{2}=4.

Passo 5

Pelo argumento de continuidade (Passo 3), temos:
  • O limite à esquerda em a existe e vale o valor da função: \displaystyle \lim_{x\to -8^{-}} x^{2/3}=f(-8)=4.
  • O limite pela direita também existe e iguala 4.
  • Logo o limite total \displaystyle \lim_{x\to -8} x^{2/3} existe e é 4.

Passo 6

Pequena verificação extra (intuitiva): para x perto de -8, \sqrt[3]{x} é próximo de -2, e ao elevar ao quadrado obtemos algo próximo de 4. Não há salto ou indefinição no caminho — por isso os limites laterais coincidem.

Passo 7

Resumo e conclusão lógica:
  • Pelo fato de x^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^2 ser composição de funções contínuas, f é contínua em -8.
  • Portanto os limites pedidos existem e são iguais a f(-8)=4.

Resposta

(a) 4
(b) 4
(c) 4

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