Determine cada limite, se existir:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto onde devemos analisar limites:
-
. -
.
As perguntas pedem:
(a) — limite pela esquerda em
.
(b) — limite (não especifica direção, então o limite total) em
.
(c) — repetição do item (b) tal como está no enunciado.
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
- A expressão matemática da função
. - O ponto
onde se avaliam os limites.
Passo 2
Vamos entender bem o que significa
. Existem duas formas equivalentes, úteis para raciocinar:
-
. Aqui primeiro se toma a raiz cúbica de e depois se eleva ao quadrado. - Alternativamente,
. Aqui primeiro se eleva ao quadrado e depois se toma a raiz cúbica.
Importante sobre a raiz cúbica: a função
(ou
) está bem definida para todo
, incluindo
. Por exemplo,
. Isso difere de raízes pares (como a raiz quadrada), que não são reais para argumentos negativos. Portanto
é definida para todo número real
.
Passo 3
Uma estratégia prática para limites de funções com potências racionais é verificar continuidade: se a função for contínua em
, então
, e os limites laterais também igualam esse valor.
Para decidir se
é contínua em
, observe que:
- A função
é contínua em todo (a raiz cúbica não tem descontinuidade). - A função
é contínua em todo . - A composição
é, portanto, contínua em todo , incluindo .
Assim podemos calcular o limite simplesmente substituindo
na função.
Passo 4
Calcule
por substituição e usando a forma
:
portanto
Passo 5
Pelo argumento de continuidade (Passo 3), temos:
- O limite à esquerda em
existe e vale o valor da função: . - O limite pela direita também existe e iguala
. - Logo o limite total
existe e é .
Passo 6
Pequena verificação extra (intuitiva): para
perto de
,
é próximo de
, e ao elevar ao quadrado obtemos algo próximo de
. Não há salto ou indefinição no caminho — por isso os limites laterais coincidem.
Passo 7
Resumo e conclusão lógica:
- Pelo fato de
ser composição de funções contínuas, é contínua em . - Portanto os limites pedidos existem e são iguais a
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)