Determine cada limite, se existir:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar limites de
em
:
- (a)
; - (b)
; - (c)
(mesma expressão que (b) no enunciado).
A função dada é
e o ponto é
. Vou listar as informações úteis que já temos:
- A expressão dentro da raiz é
. - Para a raiz quadrada real existir precisamos ter
.
Passo 2
Encontrar o domínio de
(isso é crucial para saber de que lados podemos nos aproximar de
).
Queremos resolver
. Isso dá
Como a função
é estritamente crescente para todos os
, a desigualdade
equivale a
Logo o domínio de
é
Isto significa que existem valores de
arbitrariamente próximos de
vindos da esquerda, mas não existem valores de
no domínio (não há pontos à direita de
onde
esteja definida).
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda
.
Intuição: quando
se aproxima de
(pela esquerda),
se aproxima de
, então
. Como para
a quantidade dentro da raiz é não negativa, a raiz está bem definida e tende a
.
Para ser um pouco mais explícito e rigoroso: para
próximo de
temos
, e a função
é contínua em
. Portanto a composição tende a
Passo 4
Verificar o limite pela direita
.
Pela observação do domínio, não existem pontos do domínio com
. Ou seja, não há como aproximar
por valores de
maiores que
mantendo
no domínio da função. Portanto a limite pela direita, no sentido usual de "valores de
que se aproximam de
", não está definido porque não há valores de
para esses
.
Passo 5
Determinar o limite bilateral
.
Aqui convém lembrar a definição precisa:
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
e
estiver no domínio de
, então
. Note que essa definição só exige que os pontos
considerados pertençam ao domínio de
; se o domínio não tiver pontos de um dos lados de
, não é necessário considerar esse lado.
Como já achamos que a aproximação pela esquerda dá
e não existem pontos pela direita, vale verificar um argumento
-
simples que garante o limite bilateral:
Escolha
. Então, para
com
e
no domínio (logo
), tem-se
(de fato aqui só precisamos do intervalo inferior, mas toma-se um intervalo que contenha
). Observe que
No intervalo onde estamos (por exemplo
) a quantidade
é limitada por um número finito; especificamente, para
,
Logo para tais
vale
Tomando raiz,
Dado
, escolha
Então, se
e
está no domínio, segue
Isto mostra que
segundo a definição (considerando apenas
no domínio).
Portanto, apesar de não haver valores definidos para
, a definição de limite em termos do domínio permite concluir que o limite quando
existe e é
. (Se alguém usar a versão “limite bilateral = igualdade das duas quinas laterais” e exigir que a quina direita exista separadamente, então se diria que a quina direita não existe; porém na prática e em muitos textos a definição padrão de limite usa pontos do domínio e, com isso, o limite é
.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)