Determine cada limite, se existir:
(a) \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim_{x \rightarrow a} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\sqrt{8-x^{3}} ;\quad a=2

Passo 1

O enunciado pede para determinar limites de f em a=2:
  • (a) \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x);
  • (b) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x);
  • (c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) (mesma expressão que (b) no enunciado).
A função dada é f(x)=\sqrt{8-x^{3}} e o ponto é a=2. Vou listar as informações úteis que já temos:
  • A expressão dentro da raiz é 8-x^{3}.
  • Para a raiz quadrada real existir precisamos ter 8-x^{3}\ge 0.

Passo 2

Encontrar o domínio de f (isso é crucial para saber de que lados podemos nos aproximar de a).
Queremos resolver 8-x^{3}\ge 0. Isso dá
x^{3}\le 8.
Como a função x\mapsto x^{3} é estritamente crescente para todos os x\in\mathbb{R}, a desigualdade x^{3}\le 8 equivale a
x\le 2.
Logo o domínio de f é
(-\infty,2].
Isto significa que existem valores de x arbitrariamente próximos de 2 vindos da esquerda, mas não existem valores de x>2 no domínio (não há pontos à direita de 2 onde f esteja definida).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 2^-}\sqrt{8-x^{3}}.
Intuição: quando x se aproxima de 2 (pela esquerda), x^{3} se aproxima de 2^{3}=8, então 8-x^{3}\to 0. Como para x\le 2 a quantidade dentro da raiz é não negativa, a raiz está bem definida e tende a \sqrt{0}=0.
Para ser um pouco mais explícito e rigoroso: para x próximo de 2 temos 0\le 8-x^{3}\to 0, e a função \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty). Portanto a composição tende a
\lim_{x\to 2^-}\sqrt{8-x^{3}}=\sqrt{\lim_{x\to 2^-}(8-x^{3})}=\sqrt{0}=0.

Passo 4

Verificar o limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 2^+}\sqrt{8-x^{3}}.
Pela observação do domínio, não existem pontos do domínio com x>2. Ou seja, não há como aproximar 2 por valores de x maiores que 2 mantendo x no domínio da função. Portanto a limite pela direita, no sentido usual de "valores de x>2 que se aproximam de 2", não está definido porque não há valores de f para esses x.

Passo 5

Determinar o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 2}\sqrt{8-x^{3}}.
Aqui convém lembrar a definição precisa: \lim_{x\to 2} f(x)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta e x estiver no domínio de f, então |f(x)-L|<\varepsilon. Note que essa definição só exige que os pontos x considerados pertençam ao domínio de f; se o domínio não tiver pontos de um dos lados de 2, não é necessário considerar esse lado.
Como já achamos que a aproximação pela esquerda dá 0 e não existem pontos pela direita, vale verificar um argumento \varepsilon- \delta simples que garante o limite bilateral:
Escolha \delta\le 1. Então, para x com 0<|x-2|<\delta e x no domínio (logo x\le 2), tem-se 1\le x\le 3 (de fato aqui só precisamos do intervalo inferior, mas toma-se um intervalo que contenha 2). Observe que
|8-x^{3}|=|2^{3}-x^{3}|=|2-x|\cdot|4+2x+x^{2}|.
No intervalo onde estamos (por exemplo 1\le x\le 2) a quantidade |4+2x+x^{2}| é limitada por um número finito; especificamente, para 1\le x\le 2,
4+2x+x^{2}\le 4+2\cdot 2+2^{2}=12.
Logo para tais x vale
0\le 8-x^{3}\le 12|2-x|.
Tomando raiz,
0\le \sqrt{8-x^{3}}\le \sqrt{12|2-x|}.
Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon^{2}}{12}\right\}.
Então, se 0<|x-2|<\delta e x está no domínio, segue
\sqrt{8-x^{3}}\le \sqrt{12|2-x|}<\sqrt{12\cdot\frac{\varepsilon^{2}}{12}}=\varepsilon.
Isto mostra que \lim_{x\to 2} \sqrt{8-x^{3}}=0 segundo a definição (considerando apenas x no domínio).
Portanto, apesar de não haver valores definidos para x>2, a definição de limite em termos do domínio permite concluir que o limite quando x\to 2 existe e é 0. (Se alguém usar a versão “limite bilateral = igualdade das duas quinas laterais” e exigir que a quina direita exista separadamente, então se diria que a quina direita não existe; porém na prática e em muitos textos a definição padrão de limite usa pontos do domínio e, com isso, o limite é 0.)

Resposta

(a) \;0
(b) \;0
(c) \;0

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