Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4}\right),

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4}\right).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é uma diferença de duas frações: \dfrac{1}{x-2} e \dfrac{4}{x^{2}-4}.
  • Os denominadores são x-2 e x^{2}-4. Observação: x=2 anula ambos os denominadores, pois 2-2=0 e 2^{2}-4=0. Logo, a expressão não está definida em x=2.
  • O enunciado pergunta o limite quando x se aproxima de 2, não o valor da função em 2.

Passo 2

Escolha do método: como os dois termos têm denominadores com fator x-2, a técnica natural é somar/subtrair as frações com um denominador comum e tentar cancelar o fator problemático x-2. Isso é um método elementar de álgebra para limites que apresentam “formas de divergência” em termos separados mas que podem cancelar-se mutuamente.

Passo 3

Fatorar o denominador x^{2}-4. Esta é uma diferença de quadrados, que fatoriza assim:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto o segundo termo pode ser reescrito como
\frac{4}{x^{2}-4}=\frac{4}{(x-2)(x+2)}.

Passo 4

Colocar as duas frações sobre o mesmo denominador (x-2)(x+2). Reescrever o primeiro termo \dfrac{1}{x-2} com esse denominador:
\frac{1}{x-2}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}
para x\neq2. Agora subtrai-se o segundo termo:
\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}.

Passo 5

Fazer a subtração no numerador (mesmo denominador):
\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)-4}{(x-2)(x+2)}.
Simplificando o numerador:
(x+2)-4=x-2,
logo
\frac{(x+2)-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}.

Passo 6

Cancelar o fator comum x-2 no numerador e denominador (válido para x\neq2):
\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2},\qquad \text{para }x\neq2.
Assim, para todo x diferente de 2 a expressão original é igual à função \dfrac{1}{x+2}.

Passo 7

Usar continuidade da função \dfrac{1}{x+2} em x=2. A função \dfrac{1}{x+2} é contínua onde o denominador é não nulo; em particular é contínua em x=2. Portanto o limite quando x\to2 da expressão simplificada é simplesmente o valor da função em 2:
\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.
Conclusão interpretativa rápida: embora cada termo separado tenda a infinito quando x\to2, a diferença tem um cancelamento que produz um limite finito — isso chama-se uma singularidade removível que foi eliminada pela simplificação algébrica.

Passo 8

Exemplo extra (para fixar a técnica): considere \lim_{x\to1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}. Fatorando x^{2}-1=(x-1)(x+1), cancela-se x-1 e obtém-se \dfrac{x+1}{1}, cujo limite em 1 é 2. Mesmo padrão: fatorar, cancelar e avaliar a função simplificada.

Resposta

\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados