Determine cada limite:
,
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é uma diferença de duas frações:
e . - Os denominadores são
e . Observação: anula ambos os denominadores, pois e . Logo, a expressão não está definida em . - O enunciado pergunta o limite quando
se aproxima de , não o valor da função em .
Passo 2
Escolha do método: como os dois termos têm denominadores com fator
, a técnica natural é somar/subtrair as frações com um denominador comum e tentar cancelar o fator problemático
. Isso é um método elementar de álgebra para limites que apresentam “formas de divergência” em termos separados mas que podem cancelar-se mutuamente.
Passo 3
Fatorar o denominador
. Esta é uma diferença de quadrados, que fatoriza assim:
Portanto o segundo termo pode ser reescrito como
Passo 4
Colocar as duas frações sobre o mesmo denominador
. Reescrever o primeiro termo
com esse denominador:
para
. Agora subtrai-se o segundo termo:
Passo 5
Fazer a subtração no numerador (mesmo denominador):
Simplificando o numerador:
logo
Passo 6
Cancelar o fator comum
no numerador e denominador (válido para
):
Assim, para todo
diferente de
a expressão original é igual à função
.
Passo 7
Usar continuidade da função
em
. A função
é contínua onde o denominador é não nulo; em particular é contínua em
. Portanto o limite quando
da expressão simplificada é simplesmente o valor da função em
:
Conclusão interpretativa rápida: embora cada termo separado tenda a infinito quando
, a diferença tem um cancelamento que produz um limite finito — isso chama-se uma singularidade removível que foi eliminada pela simplificação algébrica.
Passo 8
Exemplo extra (para fixar a técnica): considere
. Fatorando
, cancela-se
e obtém-se
, cujo limite em
é
. Mesmo padrão: fatorar, cancelar e avaliar a função simplificada.