Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{2}+3 x-4\right)^{2}}{x^{2}-7 x+6},

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{\left(x^{2}+3x-4\right)^{2}}{x^{2}-7x+6}.
Informações dadas:
  • A variável tende para x=1.
  • A função cujo limite se pede é \dfrac{\left(x^{2}+3x-4\right)^{2}}{x^{2}-7x+6}.

Passo 2

Tentar substituir diretamente x=1 para ver se já dá um valor:
x^{2}+3x-4\big|_{x=1}=1+3-4=0,
portanto o numerador vale 0^{2}=0.
x^{2}-7x+6\big|_{x=1}=1-7+6=0.
Como ao substituir obtemos a forma 0/0, temos uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão (por exemplo, fatorar ou usar outra técnica) para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do numerador dentro do parêntese \left(x^{2}+3x-4\right). Para fatorar uma quadrática \;x^{2}+bx+c\; procuramos números cuja soma seja b e produto seja c. Outra forma é achar as raízes pela fórmula quadrática:
x^{2}+3x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}.
Isto dá as raízes x=1 e x=-4. Logo a fatoração é
x^{2}+3x-4=(x-1)(x+4).

Passo 4

Agora fatoramos o denominador \;x^{2}-7x+6\;. Novamente encontramos as raízes:
x^{2}-7x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{2}=\frac{7\pm5}{2},
ou seja x=6 e x=1. Assim
x^{2}-7x+6=(x-1)(x-6).

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original:
\frac{\left(x^{2}+3x-4\right)^{2}}{x^{2}-7x+6} = \frac{\big((x-1)(x+4)\big)^{2}}{(x-1)(x-6)} = \frac{(x-1)^{2}(x+4)^{2}}{(x-1)(x-6)}.
Como estamos calculando um limite para x\to 1 e não avaliando exatamente em x=1, podemos simplificar cancelando um fator comum (x-1) (válido para x\neq1):
\frac{(x-1)^{2}(x+4)^{2}}{(x-1)(x-6)}=\frac{(x-1)(x+4)^{2}}{x-6}.

Passo 6

Agora que a expressão foi simplificada para uma forma que não é indeterminada em x=1, calculamos o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+4)^{2}}{x-6} = \frac{(1-1)(1+4)^{2}}{1-6} = \frac{0\cdot 5^{2}}{-5} = 0.
Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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