Determine cada um dos limites dados a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é
. - A variável tende para
: . - Note que para
real pequeno, , então a potência está bem definida.
A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite quandose aproxima de .
Passo 2
Escolha do método: limites do tipo
costumam ser tratados pegando o logaritmo natural da expressão, porque o log transforma potência em produto e facilita avaliar o limite. Depois de calcular o limite do logaritmo, voltamos aplicando a exponencial. Vou usar exatamente esse método: tomar
da expressão, trocar o limite para uma forma mais simples, resolver esse limite e então exponentiar o resultado.
Passo 3
Defino a função cujo limite queremos e passo ao logaritmo. Seja
Se o limite
existir e for
, então posso escrever
Justificativa técnica rápida: a função exponencial é contínua, então
desde que o limite de
exista (pode ser finito).
Passo 4
Agora calculo o limite do logaritmo:
Para facilitar, faço a mudança de variável
. Quando
temos
. Assim o limite vira
Essa é uma forma padrão cujo valor conhecido é
. Vou mostrar isso de forma didática usando o regra de l’Hôpital.
Passo 5
Aplicando l’Hôpital: a função
e
vão ambos para
quando
, então podemos derivar numerador e denominador:
- derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
.
Pelo teorema de l’Hôpital,
Uma intuição alternativa (sem l’Hôpital): para
pequeno
, portanto a razão tende a
. A l’Hôpital apenas formaliza isso.
Passo 6
Voltando à variável original, temos encontrado que
Logo o limite do logaritmo de
é
. Assim, usando a continuidade da exponencial,