Determine cada um dos limites dados a seguir.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x^{2}\right)^{\left(1 / x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(1+x^{2}\right)^{\left(1/x^{2}\right)}.
Informações dadas:
  • A expressão é \left(1+x^{2}\right)^{\left(1/x^{2}\right)}.
  • A variável tende para 0: x\to 0.
  • Note que para x real pequeno, 1+x^{2}>0, então a potência está bem definida.
    A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Escolha do método: limites do tipo (1+\text{coisa})^{\text{coisa inversa}} costumam ser tratados pegando o logaritmo natural da expressão, porque o log transforma potência em produto e facilita avaliar o limite. Depois de calcular o limite do logaritmo, voltamos aplicando a exponencial. Vou usar exatamente esse método: tomar \ln da expressão, trocar o limite para uma forma mais simples, resolver esse limite e então exponentiar o resultado.

Passo 3

Defino a função cujo limite queremos e passo ao logaritmo. Seja
y(x)=\left(1+x^{2}\right)^{\left(1/x^{2}\right)}.
Se o limite \lim_{x\to0} y(x) existir e for L, então posso escrever
\ln y(x)=\frac{\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)}{x^{2}}.
Justificativa técnica rápida: a função exponencial é contínua, então
\lim_{x\to0} y(x)=\exp\Bigl(\lim_{x\to0}\ln y(x)\Bigr),
desde que o limite de \ln y(x) exista (pode ser finito).

Passo 4

Agora calculo o limite do logaritmo:
\lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)}{x^{2}}.
Para facilitar, faço a mudança de variável t=x^{2}. Quando x\to0 temos t\to0^{+}. Assim o limite vira
\lim_{t\to0^{+}}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Essa é uma forma padrão cujo valor conhecido é 1. Vou mostrar isso de forma didática usando o regra de l’Hôpital.

Passo 5

Aplicando l’Hôpital: a função \ln(1+t) e t vão ambos para 0 quando t\to0, então podemos derivar numerador e denominador:
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dt}\ln(1+t)=\dfrac{1}{1+t},
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dt}t=1.
    Pelo teorema de l’Hôpital,
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{1/(1+t)}{1} =\frac{1}{1+0}=1.
Uma intuição alternativa (sem l’Hôpital): para t pequeno \ln(1+t)\approx t, portanto a razão tende a 1. A l’Hôpital apenas formaliza isso.

Passo 6

Voltando à variável original, temos encontrado que
\lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)}{x^{2}}=1.
Logo o limite do logaritmo de y(x) é 1. Assim, usando a continuidade da exponencial,
\lim_{x\to0} y(x)=\exp\bigl(1\bigr)=e.

Resposta

e

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