Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} para cada uma das funções dadas a seguir.
f(x)=\cos (x),

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
para f(x)=\cos(x). As informações dadas são:
f(0+h)=\cos(h),\qquad f(0)=\cos(0)=1.
Então o limite que precisamos calcular é
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica para reescrever o numerador. A identidade
\cos A-\cos B=-2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right)
ou, mais diretamente para B=0,
\cos h-1=-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Essa última vem de \cos(2t)=1-2\sin^2 t com t=\dfrac{h}{2}.

Passo 3

Substituindo no quociente, obtemos
\frac{\cos(h)-1}{h}=\frac{-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h}.

Passo 4

Agora transformamos \sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right) de modo a usar o limite padrão \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Escrevemos
\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right)=\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2\left(\frac{h}{2}\right)^2.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\frac{\cos(h)-1}{h}=-2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2\frac{\left(\frac{h}{2}\right)^2}{h}.

Passo 5

Simplificamos a parte que depende de h:
\frac{\left(\frac{h}{2}\right)^2}{h}=\frac{h^2}{4h}=\frac{h}{4},
então
\frac{\cos(h)-1}{h}=-2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{h}{4}=-\frac{h}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0. Sabemos o limite padrão
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
Aplicando com u=\dfrac{h}{2} temos \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}=1. Portanto
\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2=1.
Também \lim_{h\to0}\dfrac{h}{2}=0. Multiplicando os limites (produto),
\lim_{h\to0}\left[-\frac{h}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2\right]=-\left(\lim_{h\to0}\frac{h}{2}\right)\cdot\left(\lim_{h\to0}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2\right)= -0\cdot 1 = 0.

Resposta

0

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