Determine f(t) para cada uma das seguintes funções
F(s)=20 s^2(s+1)^3

Passo 1

Beleza, o enunciado quer inverter a transformada de Laplace
F(s)=20,s^2(s+1)^3
Conteúdo: Transformada de Laplace e, mais especificamente, o Teorema do Deslocamento no Domínio de (shifting theorem) e decomposição em frações simples. Vamos precisar reescrever em função de para usar inversões conhecidas como
.

Passo 2

Primeiro, escrevemos s = (s+1)-1Longrightarrow s^2=l((s+1)-1r)^2=(s+1)^2-2(s+1)+1 usando :
Isso nos ajuda a ter potências de no denominador.

Passo 3

Substituindo no numerador:
F(s) =20;(s+1)^2-2(s+1)+1(s+1)^3 =20l[(s+1)^2(s+1)^3-2(s+1)(s+1)^3+1(s+1)^3r]
Agora simplificamos cada fração:
F(s)=20l[1(s+1)-21(s+1)^2+1(s+1)^3r]

Passo 4

Usamos as inversas conhecidas:
  • f(t) =20l[e^-t-2,(t,e^-t)+tfract^22,e^-tr] =20,e^-tl[1-2t+tfract^22r] ,
  • ,
Aplicando termo a termo:

Resposta

boxedf(t)=e^-t,l(20-40,t+10,t^2r)

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