Determine se cada uma das seguintes funçöes é soluçio da equaçåo de Laplace un+un=0.
u=sen x cosh y+cos x senh y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
u(x,y)=sin x;cosh y+cos x;sinh y
é solução da equação de Laplace em duas variáveis, ou seja, se satisfaz
uxx+uyy=0
O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e as propriedades de derivadas de sin, cos, sinh e cosh.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas em relação a x. Primeiro
ux = partialpartial xl(sin xcosh yr) + partialpartial xl(cos xsinh yr) = cos x;cosh y - sin x;sinh y
Então
uxx = partialpartial xl(cos xcosh y - sin xsinh yr) = -sin x;cosh y - cos x;sinh y

Passo 3

Agora as derivadas em relação a y. Primeiro
uy = partialpartial yl(sin xcosh yr) + partialpartial yl(cos xsinh yr) = sin x;sinh y + cos x;cosh y
Em seguida
uyy = partialpartial yl(sin xsinh y + cos xcosh yr) = sin x;cosh y + cos x;sinh y

Passo 4

Somando as derivadas de segunda ordem, temos
uxx+uyy = l(-sin xcosh y - cos xsinh yr) + l(sin xcosh y + cos xsinh yr) =0
Isso mostra que uxx+uyy=0.

Resposta

A função é solução da equação de Laplace.

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