Resolva o problema de valor inicial dado.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=17 e^-2 x, y(0)=-2, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema é um valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 5y = 17 e^-2x,
sujeita a y(0)=-2 e y'(0)=1.
Conteúdo: solução geral = solução homogênea !+ particular. Vamos usar o polinômio característico para achar yh e método de coeficientes indeterminados para yp, depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' - 4y' + 5y = 0,
o polinômio característico é
r^2 - 4r + 5 = 0,
cuja solução é
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot52 = 4 pm raiz16 - 202 = 2 pm i
Logo a solução homogênea é
yh = e^2xl(Acos x + Bsin xr)

Passo 3

Para a particular, como o termo forçante é 17e^-2x e -2 não é raiz do característico, tentamos
yp = C e^-2x
Calculando
yp' = -2C e^-2x, yp'' = 4C e^-2x,
substituindo em y''-4y'+5y=17e^-2x
4C e^-2x -4(-2C e^-2x) +5C e^-2x = 17C e^-2x = 17e^-2x
logo 17C =17 e C=1. Então
yp = e^-2x

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh + yp = e^2xl(Acos x + Bsin xr) + e^-2x
Agora impomos as condições iniciais. Em x=0:
y(0) = A + 1 = -2 Longrightarrow A = -3
Derivando y:
y' = e^2xl[2(Acos x + Bsin x) + (-Asin x + Bcos x)r] -2e^-2x
Em x=0:
y'(0) = 2A + B - 2 = 1

Passo 5

Substituindo A=-3 em 2A + B - 2 = 1 temos
2(-3) + B - 2 = 1 Longrightarrow -6 + B - 2 = 1 Longrightarrow B = 9

Resposta

boxedy(x) = e^2xl(-3cos x + 9sin xr) + e^-2x

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