Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\frac{1}{2^{6}}+\frac{1}{2^{8}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{2^{12}}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\frac{1}{2^{6}}+\frac{1}{2^{8}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{2^{12}}+\cdots
converge ou diverge. Se convergir, precisamos calcular sua soma. O conteúdo usado será a teoria de séries geométricas: identificamos termo geral, razão e aplicamos o critério de convergência e a fórmula da soma.

Passo 2

Observamos que os expoentes dos denominadores aumentam de 2 em 2. Para n\ge1, o n-ésimo termo é
a_n = \frac{1}{2^{6 + 2(n-1)}} = \frac{1}{2^{2n+4}}.
A razão entre termos consecutivos é
r = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/2^{2(n+1)+4}}{1/2^{2n+4}} = \frac{1/2^{2n+6}}{1/2^{2n+4}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert = \tfrac14 < 1, pela convergência da série geométrica, concluímos que a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica de primeiro termo a_1 e razão r (com \lvert r\rvert<1) é
S = \frac{a_1}{1 - r}.
Aqui a_1 = \tfrac{1}{2^6} = \tfrac{1}{64} e r = \tfrac14. Logo,
S = \frac{\tfrac{1}{64}}{1 - \tfrac14} = \frac{\tfrac{1}{64}}{\tfrac34} = \frac{1}{64}\cdot\frac{4}{3} = \frac{1}{48}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle\frac{1}{48}.

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