Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série infinita
\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\cdots
e, se ela convergir, calcular a soma. O conteúdo aqui é séries geométricas.

Passo 2

Observamos que cada termo é obtido multiplicando o anterior por -\tfrac13. Logo, trata-se de uma série geométrica de primeiro termo
a_1 = \tfrac{2}{3}
e razão
r = -\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Uma série geométrica infinita converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui
\lvert r\rvert = \bigl\lvert -\tfrac{1}{3}\bigr\rvert = \tfrac{1}{3} < 1,
logo a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é dada por
S = \frac{a_1}{1 - r}.
Substituindo a_1 = \tfrac{2}{3} e r = -\tfrac{1}{3}, obtemos
S = \frac{\tfrac{2}{3}}{1 - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)} = \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{4}{3}} = \tfrac{1}{2}.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{1}{2}.

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