Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{3^{2 n}}{2^{3 n+1}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{3^{2n}}{2^{3n+1}}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é perceber que se trata de uma série geométrica (alternante) e usar o teste da razão ou o teste do termo geral para decidir convergência.

Passo 2

Escrevemos o termo geral a_n de forma a identificar a razão geométrica.
a_n = (-1)^{n-1}\,\frac{3^{2n}}{2^{3n+1}} = \frac{1}{2}\;(-1)^{n-1}\;\Bigl(\frac{3^2}{2^3}\Bigr)^{n} = \frac{1}{2}\;(-1)^{n-1}\;\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^{n}.
Assim, em valor absoluto
|a_n| = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão para séries geométricas: se uma série tem termo geral proporcional a r^n, ela converge somente se \lvert r\rvert<1. Aqui o “raio” é
\lvert r\rvert = \frac{9}{8} > 1.
Como \lvert r\rvert>1, os termos em valor absoluto crescem e, em particular, a_n não tende a zero. Pelo teste do termo geral, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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