Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}\

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}
ou seja, determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e o teste que vamos usar é o teste do termo geral (ou teste da divergência).

Passo 2

No teste do termo geral, verificamos o limite do n-ésimo termo. Calculamos
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}} =1.
Como esse limite é diferente de zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge (pelo teste do termo geral, pois o termo geral não tende a zero).

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