Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
y(t)=\cos (x(t))

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema
y(t)=\cos\bigl(x(t)\bigr)
é invertível e, em caso afirmativo, achar o sistema inverso. O conceito de invertibilidade que usaremos é: um sistema é invertível se, dados dois sinais de entrada distintos x_1(t)\neq x_2(t), suas saídas também são distintas, ou seja, se existe uma função inversa que recupera x(t) unicamente a partir de y(t).

Passo 2

Para que o sistema seja invertível, a função estática \cos(\cdot) aplicada ponto a ponto deve ser bijetora (um-a-um). Porém sabemos que \cos(\theta) não é injetora nem sobrejetora no conjunto de todos os reais, pois
  1. É periódica: \cos(\theta)=\cos(\theta+2\pi k) para todo inteiro k.
  2. É par: \cos(\theta)=\cos(-\theta).
    Logo não existe forma de distinguir x(t) e x(t)+2\pi nem x(t) e -x(t) apenas olhando para y(t).

Passo 3

Como \cos(\cdot) não é um-a-um no domínio real completo, o sistema não é invertível sem restrições adicionais de domínio. Para torná-lo invertível seria preciso impor, por exemplo, x(t)\in[0,\pi] ponto a ponto, caso em que a inversa vale
x(t)=\operatorname{arccos}\bigl(y(t)\bigr).

Resposta

O sistema y(t)=\cos\bigl(x(t)\bigr) não é invertível no domínio de todas as funções reais porque \cos(\cdot) não é injetora.

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