Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o sistema
é invertível e, em caso afirmativo, achar o sistema inverso. O conceito de invertibilidade que usaremos é: um sistema é invertível se, dados dois sinais de entrada distintos
, suas saídas também são distintas, ou seja, se existe uma função inversa que recupera
unicamente a partir de
.
Passo 2
Para que o sistema seja invertível, a função estática
aplicada ponto a ponto deve ser bijetora (um-a-um). Porém sabemos que
não é injetora nem sobrejetora no conjunto de todos os reais, pois
- É periódica:
para todo inteiro . - É par:
.
Logo não existe forma de distinguire nem e apenas olhando para .
Passo 3
Como
não é um-a-um no domínio real completo, o sistema não é invertível sem restrições adicionais de domínio. Para torná-lo invertível seria preciso impor, por exemplo,
ponto a ponto, caso em que a inversa vale
Resposta
O sistema
não é invertível no domínio de todas as funções reais porque
não é injetora.