Um trenó é empurrado em uma superfície sem atrito. Trataremos a força f(t) que empurra o trenó como sendo a entrada de um sistema , e a velocidade v(t) do trenó como sendo a saída do sistema. O sistema é linear e a relação entre entrada e saída pode ser descrita pela seguinte equação:
v(t)=\frac{1}{m} \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d \tau=v(0)+\frac{1}{m} \int_{0}^{t} f(\tau) d \tau
A massa m do trenó é de 100 kg . Encontre expressões para:
a) a resposta à entrada nula, considerando que a velocidade no instante inicial t=0 é de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
b) a resposta em estado nulo, considerando que f(t)=500 e^{-t} u(t) \mathrm{N}.
c) a resposta total, considerando a mesma velocidade inicial e a mesma força aplicada.

Passo 1

O problema nos dá um sistema linear que faz a relação entre a força f(t) aplicada num trenó de massa m e a sua velocidade v(t) segundo
v(t)=\frac{1}{m}\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\,d\tau =v(0)+\frac{1}{m}\int_{0}^{t}f(\tau)\,d\tau.
Aqui m=100,kg. Precisamos encontrar:
a) a resposta à entrada nula (zero‐input), com v(0)=1,m/s;
b) a resposta em estado nulo (zero‐state), com f(t)=500e^{-t}u(t);
c) a resposta total, somando os dois efeitos.

Passo 2

Para a resposta à entrada nula definimos f(t)=0 para todo t. Da fórmula
v(t)=v(0)+\frac{1}{m}\int_{0}^{t}0\,d\tau
vem que
v_{\text{zi}}(t)=v(0)=1\quad\text{(m/s)},\quad t\ge0.

Passo 3

Para a resposta em estado nulo assumimos v(0)=0 e f(t)=500e^{-t}u(t). Então
v_{\text{zs}}(t) =\frac{1}{m}\int_{0}^{t}500e^{-\tau}\,d\tau =\frac{500}{100}\bigl[1-e^{-t}\bigr] =5\bigl(1-e^{-t}\bigr),\quad t\ge0.

Passo 4

A resposta total é a soma da zero‐input com a zero‐state:
v(t)=v_{\text{zi}}(t)+v_{\text{zs}}(t) =1+5\bigl(1-e^{-t}\bigr) =6-5e^{-t},\quad t\ge0.

Resposta

a) v_{\text{zi}}(t)=1,m/s.
b) v_{\text{zs}}(t)=5\bigl(1-e^{-t}\bigr)\,u(t),m/s.
c) v(t)=6-5e^{-t},m/s.

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