Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
Passo 1
O enunciado dá um sistema
que mapeia o sinal de entrada
em
Queremos verificar se
é invertível, ou seja, se para quaisquer dois sinais
temos sempre
. Se der invertível, precisamos achar o sistema inverso
tal que
.
Passo 2
Suponha que dois sinais
e
produzam a mesma saída:
Então a diferença
satisfaz
Diferenciando ambos os lados em relação a
e usando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos
logo
. Isso mostra que o sistema é um-para-um e, portanto, invertível.
Passo 3
Para desfazer a integração de
até
, basta diferenciar
. Assim, o sistema inverso
é
Em outras palavras, dado
, recuperamos
pela derivada de
.
Resposta
O sistema é invertível e o sistema inverso é