Determine se o campo vetorial F é ou não o gradiente de um campo escalar. Quando F for um gradiente, encontre uma função potencial correspondente.
F(x, y) = (3 x^2 y, x^3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial F(x, y) = (3 x^2 y, x^3) é o gradiente de algum campo escalar. Isso significa que precisamos verificar se existe uma função escalar f(x, y) tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo (ou seja, é o gradiente de uma função escalar) se ele satisfaz a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
Como elas são iguais, a condição para o campo F ser conservativo é satisfeita.

Passo 5

Como o campo é conservativo, sabemos que existe uma função potencial f(x, y) tal que:
Isso nos dá as equações:
Vamos integrar uma dessas equações para encontrar f(x, y).

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função de integração que depende apenas de y.

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar g(y):
Comparando os dois lados:
Isso significa que g(y) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Resposta

Então, a função potencial é:
Portanto, o campo vetorial F(x, y) = (3 x^2 y, x^3) é o gradiente do campo escalar .

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