Determine se o campo vetorial
é ou não o gradiente de um campo escalar. Quando
for um gradiente, encontre uma função potencial correspondente.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial
é o gradiente de algum campo escalar. Isso significa que precisamos verificar se existe uma função escalar
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo (ou seja, é o gradiente de uma função escalar) se ele satisfaz a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Calculando
:
- Calculando
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Como elas são iguais, a condição para o campo
ser conservativo é satisfeita.
Passo 5
Como o campo é conservativo, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Isso nos dá as equações:
Vamos integrar uma dessas equações para encontrar
.
Passo 6
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda equação
para encontrar
:
Comparando os dois lados:
Isso significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Resposta
Então, a função potencial é:
Portanto, o campo vetorial
é o gradiente do campo escalar
.