Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
,
,
e
em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método das seções transversais, também conhecido como método dos anéis ou “washers”. Vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos de rotação e aplicar integrais para obter o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região. As curvas
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
é o eixo
, e as linhas verticais
e
delimitam a região entre
e
. Ao girar essa região em torno da reta
, formamos um sólido.
Passo 3
Como vamos girar em torno de
, que é uma reta vertical, usaremos o método dos anéis. Esse método envolve calcular a diferença entre dois raios para cada “anel” formado pela rotação.
Passo 4
Vamos identificar o raio externo e o raio interno para o anel. O raio externo é a distância da reta de rotação (
) até a linha
, e o raio interno é a distância da reta de rotação até a linha
.
Matematicamente:
- Raio externo
- Raio interno
Passo 5
A área de cada anel é dada por:
Substituindo os valores dos raios:
Passo 6
Para encontrar o volume total, vamos integrar a área dos anéis ao longo do eixo
de 2 a 4:
Passo 7
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é
unidades cúbicas.