Determine, caso existam, as soluções constantes.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, caso existam, as soluções constantes da equação diferencial
Informações dadas: a igualdade acima vale para a função desconhecida
e para a variável independente
. A pergunta é: quais funções constantes
(com
constante) satisfazem essa equação?
Passo 2
O que é uma solução constante? Uma função
é chamada constante se existe um número
tal que
para todo
no domínio. Importante: o mesmo valor
vale para todos os
. Na prova, quando pedirem “solução constante”, a idéia é testar funções desse tipo.
Passo 3
Propriedade básica: a derivada de uma função constante é zero. Ou seja, se
então
para todo
. Isso vem da definição de derivada: não há variação quando a função não depende de
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Essa igualdade deve ser verdadeira para todo
do domínio. Agora raciocinamos: se
então
e a igualdade exigiria
para todo
, o que é impossível. Portanto a única possibilidade é
que implica
Passo 5
Conclusão: a única função constante que satisfaz
para todos os
é a função identicamente zero. É a solução constante trivial — e é bem comum em equações do tipo
(algo)
:
costuma aparecer como solução constante quando o termo do lado direito é proporcional a potências de
.