Determine, caso existam, as soluções constantes.
\frac{d y}{d x}=x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar, caso existam, as soluções constantes da equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x y^{2}.
Informações dadas: a igualdade acima vale para a função desconhecida y(x) e para a variável independente x. A pergunta é: quais funções constantes y(x)=C (com C constante) satisfazem essa equação?

Passo 2

O que é uma solução constante? Uma função y(x) é chamada constante se existe um número C tal que
y(x)=C
para todo x no domínio. Importante: o mesmo valor C vale para todos os x. Na prova, quando pedirem “solução constante”, a idéia é testar funções desse tipo.

Passo 3

Propriedade básica: a derivada de uma função constante é zero. Ou seja, se y(x)=C então
\frac{d y}{d x}=0
para todo x. Isso vem da definição de derivada: não há variação quando a função não depende de x.

Passo 4

Substituímos y(x)=C e \dfrac{dy}{dx}=0 na equação original:
0 = x\,C^{2}.
Essa igualdade deve ser verdadeira para todo x do domínio. Agora raciocinamos: se C\neq 0 então C^{2}>0 e a igualdade exigiria x=0 para todo x, o que é impossível. Portanto a única possibilidade é
C^{2}=0,
que implica
C=0.

Passo 5

Conclusão: a única função constante que satisfaz \dfrac{d y}{d x}=x y^{2} para todos os x é a função identicamente zero. É a solução constante trivial — e é bem comum em equações do tipo y'= (algo) \cdot y^{k}: y\equiv0 costuma aparecer como solução constante quando o termo do lado direito é proporcional a potências de y.

Resposta

y(x)\equiv 0

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