Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis.
\frac{d y}{d x}=x y

Passo 1

O enunciado pede: assinalar se a equação diferencial abaixo é de variáveis separáveis.
\frac{dy}{dx}=x\,y
Informações dadas: a equação diferencial ordinária primeira ordem é \frac{dy}{dx}=x\,y. A pergunta é apenas se essa equação é separável (ou seja, se dá para escrever os termos em função de x de um lado e de y do outro).

Passo 2

O que significa “variáveis separáveis”?
Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
onde g(x) depende só de x e h(y) depende só de y. Nesse caso podemos rearranjar para
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Aqui eu explico cada termo: g(x) é uma função que contém apenas a variável independente x; h(y) é uma função que contém apenas a variável dependente y. A ideia é “separar” as variáveis para integrar.

Passo 3

Aplicando a definição à equação dada. Observamos que
\frac{dy}{dx}=x\,y
pode ser vista como g(x)=x e h(y)=y, porque o lado direito é o produto de uma função só de x por uma função só de y. Portanto a equação está na forma g(x)h(y) e é, por definição, separável. (Peguei essa identificação diretamente da equação fornecida.)

Passo 4

Agora faço a separação explícita das variáveis — passo a passo e com cuidado com condições especiais. Parto de
\frac{dy}{dx}=x\,y.
Se y\neq 0 podemos dividir por y e obter
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=x.
Multiplicando por dx temos a separação
\frac{1}{y}\,dy = x\,dx.
Observação importante: também existe a solução trivial y\equiv 0 (constante zero). Essa solução não aparece da divisão por y porque dividimos por y, então devemos lembrar de incluí-la depois como caso especial.

Passo 5

Integro ambos os lados para encontrar a solução geral (a técnica padrão para equações separáveis). Escrevo as integrais:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx.
As primitivas são conhecidas: a primitiva de \frac{1}{y} é \ln|y| e a de x é \frac{x^{2}}{2}. Portanto
\ln|y| = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário).

Passo 6

Resolvo para y explicitamente, exponenciando ambos os lados. Temos
|y| = e^{\frac{x^{2}}{2}+C}=e^{C}\,e^{\frac{x^{2}}{2}}.
Chamando C' = \pm e^{C} (uma constante real arbitrária, podendo ser zero se permitirmos C' = 0 ao tratar o caso constante), obtemos a forma geral
y(x)=C'\,e^{\frac{x^{2}}{2}}.
Incluindo a solução trivial, a família completa de soluções é y(x)=C\,e^{\frac{x^{2}}{2}} com C constante real (essa fórmula também cobre C=0, que dá y\equiv 0).

Resposta

Sim. A equação \frac{dy}{dx}=x\,y é separável.
Solução geral: y(x)=C\,e^{\frac{x^{2}}{2}}, com C\in\mathbb{R}.

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