Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis.
Passo 1
O enunciado pede: assinalar se a equação diferencial abaixo é de variáveis separáveis.
Informações dadas: a equação diferencial ordinária primeira ordem é
. A pergunta é apenas se essa equação é separável (ou seja, se dá para escrever os termos em função de
de um lado e de
do outro).
Passo 2
O que significa “variáveis separáveis”?
Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma
Uma equação é separável quando pode ser escrita na forma
onde
depende só de
e
depende só de
. Nesse caso podemos rearranjar para
e então integrar ambos os lados. Aqui eu explico cada termo:
é uma função que contém apenas a variável independente
;
é uma função que contém apenas a variável dependente
. A ideia é “separar” as variáveis para integrar.
Passo 3
Aplicando a definição à equação dada. Observamos que
pode ser vista como
e
, porque o lado direito é o produto de uma função só de
por uma função só de
. Portanto a equação está na forma
e é, por definição, separável. (Peguei essa identificação diretamente da equação fornecida.)
Passo 4
Agora faço a separação explícita das variáveis — passo a passo e com cuidado com condições especiais. Parto de
Se
podemos dividir por
e obter
Multiplicando por
temos a separação
Observação importante: também existe a solução trivial
(constante zero). Essa solução não aparece da divisão por
porque dividimos por
, então devemos lembrar de incluí-la depois como caso especial.
Passo 5
Integro ambos os lados para encontrar a solução geral (a técnica padrão para equações separáveis). Escrevo as integrais:
As primitivas são conhecidas: a primitiva de
é
e a de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário).
Passo 6
Resolvo para
explicitamente, exponenciando ambos os lados. Temos
Chamando
(uma constante real arbitrária, podendo ser zero se permitirmos
ao tratar o caso constante), obtemos a forma geral
Incluindo a solução trivial, a família completa de soluções é
com
constante real (essa fórmula também cobre
, que dá
).
Resposta
Sim. A equação
é separável.
Solução geral: , com
.
Solução geral: